Examen de Fundamentos de Estadística UOC 2021 · Estadística - Convocatòria de Gener 2021

Pregunta 1. Interval de confiança i grandària mostral per a una mitjana

A partir d'una mostra de 935 estats financers d'empreses de distribució espanyoles de l'any 2017 (font: base de dades SABI), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent, corresponent al percentatge en tant per u que representa el passiu corrent sobre el passiu total.

S'obtenen els següents resultats computacionals per a intervals de confiança:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

Respon als apartats següents:

a.

Què es pot respondre a algú que sosté que la mitjana poblacional d'aquest percentatge és exactament de 0,8000?

b.

Assumint que la desviació típica poblacional és de 0,2, quina grandària mostral seria necessària per assolir un marge d'error màxim de 0,01 amb uns nivells de confiança del 99% i del 95%, respectivament?

Pregunta 2. Taula de contingència i mesura d'associació de Cramer

A partir de la mateixa base de dades de 935 empreses de distribució espanyoles, s'estudia la relació entre el sector d'activitat ( Codi_activitat) i la solvència a curt termini (variable binària solvent_a_ct, que val TRUE quan l'actiu corrent supera el passiu corrent, i FALSE en cas contrari).

Els sectors considerats són:

Ali_Beg_Tab: Aliments, Begudes i Tabac

Alt: Altres

Benzin: Benzineres

Equip_Llar: Equipament de la Llar

General: Distribució General

Lleu_Cult: Lleure i Cultura

TIC: Tecnologies de la Informació i Comunicació

Vest_Cal: Vestit i Calçat

Es demana:

a.

Quines categories de distribució destaquen per presentar proporcions significativament superiors o inferiors d'empreses solvents a curt termini en relació amb la proporció mitjana? Justifiqueu-ho numèricament.

b.

En cas que sigui factible, calculeu un coeficient adequat per mesurar el grau d'associació entre ambdues variables i comenteu-ne el resultat. Indiqueu en tot cas per què és possible o no el seu càlcul.

Pregunta 3. Comparació de proporcions poblacionals i validació de condicions

A partir de la mateixa base de 935 empreses de distribució, s'estudien les proporcions d'empreses que pertanyen als sectors d'Equipament de la llar ( Equip_Llar) i de Lleure i cultura ( Lleu_Cult). Es disposa dels següents càlculs en R:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Equip_Llar"

t = 13.676, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.1353565 0.1983334

sample estimates:

mean of x

0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "Lleu_Cult", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Lleu_Cult"

t = 7.7869, df = 934, p-value = 1.82e-14

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.04075542 0.08116972

sample estimates:

mean of x

0.06096257

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

a.

Amb una confiança del 99%, es pot concloure que en la població d'empreses hi ha una major presència d'empreses d'equipament de la llar respecte a les de lleure i cultura?

b.

Comproveu formalment les condicions necessàries per a l'aplicació d'aquests intervals de confiança per a proporcions.

Pregunta 4. Probabilitat condicional i independència d'esdeveniments

En una enquesta duta a terme entre estudiants de grau d'Economia sobre els seus hàbits tecnològics, s'obté que el 35% té conjuntament un iPhone i un iPad, el 75% posseeix un iPhone i el 40% disposa d'un iPad.

Si es tria un estudiant a l'atzar, calculeu:

a.

b.

c.

Són estadísticament independents els esdeveniments «tenir iPhone» i «tenir iPad»?

Sí

No

Pregunta 5. Suma de normals i aproximació normal d'una binomial

En un ascensor d'un centre comercial s'indica una limitació de capacitat de «com a màxim 10 persones, o com a màxim 800 kg». S'assumeix que el pes d'un client segueix una distribució normal $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels diversos individus són independents entre si.

a.

b.

Si en una franja horària concreta hi ha 300 persones al centre comercial i la probabilitat que un client determinat agafi l'ascensor és de 0,05: