Examen de Física I UB 2024 · final gener 2024

Qüestió 1 (1 punt). Centre de masses i moments d'inèrcia del formaldehid

L'estructura planar de la molècula de formaldehid conté un àtom de carboni, un àtom d'oxigen i dos àtoms d'hidrogen. La separació entre el carboni i qualsevol altre àtom és constant i val $d = 1{,}2\ \text{\AA}$, mentre que l'angle entre enllaços consecutius és $\alpha = 120^\circ$.

Dades de masses atòmiques: $m_H = 1\ \text{u}$, $m_C = 12\ \text{u}$, $m_O = 16\ \text{u}$. Expresseu les respostes en les mateixes unitats donades a l'enunciat.

a)

Trobeu la distància entre el centre de masses del conjunt molecular i l'àtom de carboni, prenent la posició d'aquest com a origen del sistema de coordenades.

b)

Calculeu el moment d'inèrcia respecte a un eix ortogonal al pla molecular que creua l'àtom de carboni.

c)

Determineu el moment d'inèrcia de la molècula respecte a un eix perpendicular al seu pla que travessi el centre de masses.

Qüestió 2 (1 punt). Oscil·lador harmònic unidimensional

Una partícula de massa $m = 150\text{ g}$ es troba sotmesa a un camp de forces associat al potencial unidimensional $U(x) = ax^2$, essent $a = 6\text{ N/m}$. En l'instant inicial $t = 0$, la posició del mòbil és $x = 1\text{ m}$ i la seva velocitat és positiva amb un mòdul de $v = 2\text{ m/s}$.

a.

Calculeu l'elongació màxima assolible per la partícula, $x_{\max}$.

b.

Deduïu la funció que descriu la posició temporal de la partícula, $x(t)$.

Qüestió 3 (1 punt). Velocitat d'arribada a la Terra sota camp gravitatori

Un cos de massa $m$ s'allibera des del repòs a una distància $r$ del centre de la Terra ($r \gg R_T$, on $R_T$ representa el radi terrestre). Negligint qualsevol tipus de fricció atmosfèrica, deduïu la velocitat amb què el cos col·lisiona contra la superfície terrestre expressada exclusivament en funció de $r$, $R_T$ i $g$ (l'acceleració gravitatòria en superfície).

Qüestió 4 (1 punt). Col·lisió frontal entre moto i vehicle automàtic

Un motorista de massa $m_1 = 70\text{ kg}$ viatja dalt d'una motocicleta de massa $m_2 = 200\text{ kg}$ a una velocitat de $v_m = 20\text{ m/s}$. En sentit oposat circula un vehicle autònom de massa $M = 1500\text{ kg}$ a una velocitat $v_c = -10\text{ m/s}$, produint-se una col·lisió frontal. Després de l'impacte, el cotxe i la moto queden units en un sol bloc, mentre que el motorista és projectat cap endavant amb una velocitat de $v_m^f = 15\text{ m/s}$ respecte al terra.

a.

Determineu la velocitat del centre de masses de tot el conjunt abans de la topada.

b.

Calculeu la velocitat amb què es desplacen el cotxe i la moto encastats immediatament després del xoc.

c.

Avalueu la pèrdua d'energia cinètica experimentada en la col·lisió.

Problema 1 (2 punts). Massa sobre anella vertical subjecta a una molla

Una massa puntual $m$ està inserida en una anella circular de radi $R$ fixada rígidament en un pla vertical, sobre la qual pot lliscar lliurement sense fricció. El centre de l'anella és $O$. La posició de la massa es descriu mitjançant l'angle $\theta$ mesurat respecte de la vertical inferior (punt $A$). La partícula està connectada a una molla de constant recuperadora $k$ i longitud natural nul·la ($\ell_0 = 0$), fixada pel seu altre extrem al punt més alt de l'anella, $F$.

a.

Trobeu l'expressió de la longitud de la molla $\ell(\theta, R)$ en funció de $\theta$ i $R$.

b.

Obtingueu l'energia potencial total del sistema $E_p(\theta)$ prenent el nivell de referència gravitatori al punt més baix de l'anella. Quina forma pren si es compleix $kR = mg$?

c.

Determineu les configuracions d'equilibri en funció dels paràmetres $k$, $R$, $m$ i $g$.

d.

Estudieu l'estabilitat d'aquests punts d'equilibri distingint els casos $kR = mg$, $kR < mg$ i $kR > mg$.

Problema 2 (2 punts). Rodolament pur de cilindre arrossegat per massa penjant

Un bloc de massa $m_1 = 1\text{ kg}$ penja lliurement de l'extrem d'un fil inextensible i de massa negligible, el qual passa per una politja ideal sense fregament. L'altre extrem de la corda s'enrotlla a la part superior d'un cilindre de massa $m_2 = 10\text{ kg}$ i radi $R = 10\text{ cm}$. El cilindre es mou sobre una superfície horitzontal amb rodolament pur (sense lliscar). El moment d'inèrcia del cilindre respecte al seu eix axial és $I_{cm} = \frac{1}{2}m_2 R^2$. Preneu el valor de la gravetat com $g = 10\text{ m/s}^2$.

a)

Dibuixeu el diagrama de sòlid lliure per a cadascuna de les masses que permet que el cilindre rodi sense lliscar.

b)

Formuleu les equacions dinàmiques de Newton i de moment angular per a cada cos, així com la relació cinemàtica existent entre l'acceleració lineal del bloc $a_1$ i l'acceleració angular $\alpha$ del cilindre (tenint en compte que el punt de contacte instantani amb el terra té velocitat nul·la).

c)

Suposant que el sistema s'allibera des del repòs, calculeu l'acceleració lineal del bloc $a_1$, la tensió de la corda $T$ i l'acceleració angular $\alpha$ del cilindre.

d)

Determineu l'energia cinètica total del cilindre en l'instant $t = 1\text{ s}$.

Problema 3 (2 punts). Equilibri estàtic d'una escala recolzada en una taula

Una escala homogènia de longitud $\ell = 2\text{ m}$ i massa $M = 3\text{ kg}$ es recolza sobre la vora d'una taula d'alçada $h = 1\text{ m}$ formant un angle $\theta = 60^\circ$ respecte a la línia horitzontal del terra. El coeficient de fricció estàtica entre l'extrem inferior de l'escala i el terra és $\mu = 0{,}6$, mentre que el contacte entre l'escala i la vora de la taula és totalment llis (fricció nul·la). Preneu $g = 10\text{ m/s}^2$.

a)

Dibuixeu l'esquema de totes les forces que actuen sobre l'escala.

b)

Escriviu el sistema d'equacions d'equilibri estàtic.

c)

Calculeu el mòdul de la força normal i de la força de fricció que el terra exerceix sobre la base de l'escala:

d)

Calculeu la força de reacció que fa la vora de la taula sobre l'escala:

e)

Determineu l'alçada mínima $h_{\text{min}}$ que hauria de tenir la taula perquè l'escala no comenci a lliscar, mantenint l'angle $\theta = 60^\circ$ i el coeficient $\mu = 0{,}6$: