Problema 1 · Física I UB 2024

Tema: Treball, energia mecànica i energia potencial U(x) · Del examen Examen final gener 2024 (2024)

Enunciado

Problema 1 (2 punts). Massa sobre anella vertical subjecta a una molla

Una massa puntual mm està inserida en una anella circular de radi RR fixada rígidament en un pla vertical, sobre la qual pot lliscar lliurement sense fricció. El centre de l'anella és OO. La posició de la massa es descriu mitjançant l'angle θ\theta mesurat respecte de la vertical inferior (punt AA). La partícula està connectada a una molla de constant recuperadora kk i longitud natural nul·la (ℓ0=0\ell_0 = 0), fixada pel seu altre extrem al punt més alt de l'anella, FF.

a.

Trobeu l'expressió de la longitud de la molla ℓ(θ,R)\ell(\theta, R) en funció de θ\theta i RR.

b.

Obtingueu l'energia potencial total del sistema Ep(θ)E_p(\theta) prenent el nivell de referència gravitatori al punt més baix de l'anella. Quina forma pren si es compleix kR=mgkR = mg?

c.

Determineu les configuracions d'equilibri en funció dels paràmetres kk, RR, mm i gg.

d.

Estudieu l'estabilitat d'aquests punts d'equilibri distingint els casos kR=mgkR = mg, kR<mgkR < mg i kR>mgkR > mg.

Enunciado: Problema 1 · Física I UB 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Trobeu l'expressió de la longitud de la molla ℓ(θ, R) en funció de θ i R.

Solución: ℓ(θ,R)=R2(1+cos⁡θ)=2Rcos⁡(θ2)\ell(\theta, R) = R\sqrt{2(1+\cos\theta)} = 2R\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

b. Obtingueu l'energia potencial total del sistema Ep(θ) prenent el nivell de referència gravitatori al punt més baix de l'anella. Quina forma pren si es compleix kR = mg?

Solución: Ep(θ)=R(kR+mg)+R(kR−mg)cos⁡θE_p(\theta) = R(kR+mg) + R(kR-mg)\cos\theta. Si kR=mgkR = mg, Ep(θ)=2kR2=2mgR=constantE_p(\theta) = 2kR^2 = 2mgR = \text{constant}

c. Determineu les configuracions d'equilibri en funció dels paràmetres k, R, m i g.

Solución: Per a kR≠mgkR \neq mg: θ=0 rad\theta = 0\text{ rad} i θ=π rad\theta = \pi\text{ rad}. Si kR=mgkR = mg, qualsevol valor de θ\theta és d'equilibri.

d. Estudieu l'estabilitat d'aquests punts d'equilibri distingint els casos kR = mg, kR < mg i kR > mg.

Solución: Si kR=mgkR = mg: equilibri indiferent per a qualsevol θ\theta. Si kR<mgkR < mg: θ=0\theta = 0 és estable, θ=π\theta = \pi és inestable. Si kR>mgkR > mg: θ=0\theta = 0 és inestable, θ=π\theta = \pi és estable.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Ejercicio Qüestió 1 · 2021 ›

Más ejercicios de Treball, energia mecànica i energia potencial U(x)