Ejercicio 3 - Gravitación y potencial efectivo · Física I UB 2022

a. Hallar el valor de la aceleración y de la velocidad del centro de masas del conjunto formado por la Tierra y el satélite, asumiendo la aproximación M >> m. ¿Resulta inercial (o galileano) el sistema de referencia fijado en el centro terrestre? Justificar la respuesta.

Solución: $a_{\text{cm}} = 0$, $v_{\text{cm}} \simeq 0$. El sistema de referencia puede considerarse inercial con un alto grado de aproximación.

b. Obtener el módulo de la velocidad orbital v del satélite en función del radio r.

Solución: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

c. Determinar las expresiones de la energía potencial U(r) en función de r.

Solución: $U(r) = -\frac{GMm}{r}$

c. Determinar la expresión de la energía mecánica total E(r) del satélite en función de r.

Solución: $E(r) = -\frac{GMm}{2r}$

d. Calcular la magnitud del momento angular L del satélite respecto al centro del planeta en función de r.

Solución: $L = m\sqrt{GMr}$

d. Emplear dicha magnitud para formular el potencial efectivo U_eff(r).

Solución: $U_{\text{eff}}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}$

e. Razonar físicamente sobre la curva de U_eff(r) la posición del radio de la órbita circular.

Solución: El radio de la órbita circular corresponde al mínimo de $U_{\text{eff}}(r)$, donde la fuerza radial efectiva $-dU_{\text{eff}}/dr = 0$ se anula.

e. Esbozar cualitativamente la curva de U_eff(r) e indicar sobre ella la posición del radio de la órbita circular.

Solución: Gráfica cualitativa con el eje vertical $U_{\text{eff}}$ y el eje horizontal $r$. Se debe observar la divergencia positiva a $+\infty$ para $r \to 0$ debida a la barrera centrífuga $\frac{L^2}{2mr^2}$, un pozo con un mínimo negativo en $r = r_0$ (radio de la órbita circular estable), y una aproximación asintótica a 0 desde valores negativos cuando $r \to \infty$.