Examen de Introducción al Cálculo Diferencial UB 2013 · final gener 2013

Considerant que $w_0 = 1 + j$ constitueix una de les arrels cúbiques del nombre complex $Z$, determineu el valor de $Z$ així com les arrels restants.

Problema 2 [1 punt]. Càlcul de límits mitjançant infinitèsims equivalents

Calculeu el límit següent utilitzant equivalències infinitesimals:$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left(1 - \cos\left(\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)\right)}{\ln\left(1 + \frac{n^2}{n^2+1}\right) \cdot \left(e^{\frac{1}{n^2}} - 1\right)}$$

Problema 3 (2 punts). Teoremes de funcions contínues i derivables per a la localització de zeros

Fent ús dels teoremes per a funcions contínues i derivables:

Nota: Com a suport s'adjunta la gràfica i una taula de valors de la funció $y = \operatorname{arctg} x$:

x

-1

-1/2

-1/4

0

1/4

1/2

1

y = arctg x

-0,78

-0,46

-0,24

0

0,24

0,46

0,78

a)

Determineu quants zeros té la funció $f(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{4}{5}x$.

b)

Especifiqueu els intervals en què es troben ubicats aquests zeros i justifiqueu la resposta.

seek

Problema 4 (1,5 punts). Continuïtat i derivabilitat per definició

Analitzeu la continuïtat i la derivabilitat (emprant la definició formal de derivada en un punt) de la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 - \cos 2x}{x^2} & \text{si } -1 < x < 0 \\[1em] e^x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\[1em] e \cdot x & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}$$

Problema 5 (2 punts). Polinomi de Taylor d'ordre 2 i terme de l'error

Donada la funció $f(x) = \ln(1 + \sin x)$:

a.

Determineu el polinomi de Taylor d'ordre 2 centrat al punt $x = 0$.

b.

Trobeu la fórmula de l'error o terme del residu de Lagrange corresponent.

Problema 6 (2,5 punts). Estudi i representació gràfica d'una funció

Realitzeu l'estudi complet de la funció $f(x) = 3x + x^{-2}$ i traceu la seva gràfica. Indiqueu de manera explícita:

a.

Els intervals de creixement i decreixement (extrems relatius).

b.

Els intervals de concavitat i convexitat.

c.

Les equacions de totes les seves asímptotes (verticals, horitzontals i/o obliqües).

d.

Traceu la gràfica de la funció: