Práctica: Cónicas (Elipse e Hipérbola)

Contexto

En geometría analítica, la ecuación general de segundo grado en dos variables sin término mixto tiene la forma:

$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + F = 0$$

A través de la completación de cuadrados y el análisis de los coeficientes principales, es posible transformar esta expresión a su forma canónica u ordinaria, identificando el tipo de cónica (elipse, hipérbola o sus casos degenerados), sus elementos característicos (centro, vértices y longitudes de ejes) y su gráfica en el plano cartesiano.

1. Condiciones de los coeficientes para elipse e hipérbola

Explique qué condiciones deben cumplir los coeficientes $A, B, C, D, E$ y $F$ en la ecuación cuadrática general:

$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + F = 0$$

para que su representación gráfica corresponda a:

a.

Una elipse. Presente además las ecuaciones canónicas según la orientación del eje mayor.

b.

Una hipérbola. Presente además las ecuaciones canónicas según la orientación del eje focal.

Contexto

En geometría analítica, la ecuación general de segundo grado en dos variables sin término mixto tiene la forma:

$$Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + F = 0$$

A través de la completación de cuadrados y el análisis de los coeficientes principales, es posible transformar esta expresión a su forma canónica u ordinaria, identificando el tipo de cónica (elipse, hipérbola o sus casos degenerados), sus elementos característicos (centro, vértices y longitudes de ejes) y su gráfica en el plano cartesiano.

2. Identificación del lugar geométrico y graficación de cónicas

A partir de las siguientes ecuaciones de segundo grado, complete cuadrados para hallar la forma canónica, determine el lugar geométrico que representan, halle sus elementos principales (centro, semiejes y ejes mayor/menor o transverso/conjugado) y analice su correspondencia con la gráfica dada:

a.

$3x^2 + 4y^2 - 6x - 16y - 15 = 0$

b.

$x^2 - y^2 = 2x$

c.

$4y^2 - 9x^2 - 8y + 54x = 77$

d.

$2x^2 + 6y^2 = -2x + 3y + 12$

e.

$4x^2 - y^2 - 8x + 6y + 5 = 0$