Práctica 2. Derivación de funciones vectoriales, regla de L'Hôpital y derivación paramétrica

1 Ejercicios 1-5. Derivadas de funciones vectoriales en $t = 5$

Para cada una de las siguientes funciones vectoriales, determine su vector derivada respecto a $t$ y evalúelo en el valor $t = 5$:

a.

$\vec{F}(t) = \left(t^2, \frac{1}{t}\right)$

b.

$\vec{G}(t) = (6\sin t, 3\cos t)$

c.

$\vec{H}(t) = (t + 1, t^2)$

d.

$\vec{K}(t) = (2t^2, t - 5)$

e.

$\vec{M}(t) = (\ln t, \sin t)$

2 Práctica Guiada (a-c). Derivación vectorial en $t = 2$

A partir de las siguientes funciones vectoriales, halle su vector derivada general y calcule el valor correspondiente para $t = 2$:

a.

$\vec{F}(t) = (t^2, -t)$

b.

$\vec{G}(t) = (\cos t, t + 7)$

c.

$\vec{H}(t) = (\ln t, 2t^3)$

3. L'Hôpital (1, 4, 8, 12). Resolución de límites indeterminados

Calcule los siguientes límites de funciones reales identificando las indeterminaciones presentes y aplicando la regla de L'Hôpital cuando corresponda:

a.

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\operatorname{sen} x}$$

b.

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\operatorname{tg} x - 1) \sec 2x$$

c.

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}$$

d.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - \operatorname{sen} x}{x \operatorname{sen} x}$$

Dada la curva $C$ descrita por la función vectorial:$$\vec{r}(t) = \left(\sqrt{t-1}, e^{2t}, \sqrt{\ln t}\right)$$

a. Determine el dominio de definición de la función $\vec{r}$.

Dada la curva $C$ descrita por la función vectorial:$$\vec{r}(t) = \left(\sqrt{t-1}, e^{2t}, \sqrt{\ln t}\right)$$

b. Calcule el límite lateral $\lim_{t \to 1^+} \vec{r}(t)$.

5. Derivación Paramétrica (ejemplo). Derivada dy/dx de funciones paramétricas

A partir de las siguientes ecuaciones paramétricas, determine la derivada $\frac{dy}{dx}$ en términos del parámetro $t$:

$$\begin{aligned} x &= 2t + 1 \\ y &= 5t^2 - 1 \end{aligned}$$

6. Derivación Paramétrica (ejercicio 1). Cálculo de dy/dx respecto de t

Dada la curva definida mediante las ecuaciones paramétricas:

$$\begin{aligned} x &= 1 - 2t \\ y &= 3t^2 + 2t \end{aligned}$$

Obtenga la expresión de $\frac{dy}{dx}$ en función del parámetro $t$.

7 Derivación Paramétrica (ejercicio 2). Derivación con regla de la cadena

Calcule la derivada $\frac{dy}{dx}$ expresada en términos del parámetro $t$ para las ecuaciones:

$$\begin{aligned} x &= t^3 \\ y &= (1 + 2t)^3 \end{aligned}$$