Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari

I 0 flashcards i 6 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS INTRODUCCIÓ AL CÀLCUL DIFERENCIAL Grau en Matemàtiques Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts complets d'Introducció al Càlcul Diferencial (UB): límits, continuïtat, regles de derivació, teoremes de Rolle i Lagrange, Taylor i gràfiques. APREN.AI Índex 1 Conjunts numèrics, funcions elementals i principi d'inducció 1. Els conjunts numèrics i la construcció dels nombres reals 2. Intervals, entorns i densitat a la recta real 3. Marc formal d'aplicacions: imatges, injectivitat i inversa 4. El catàleg de funcions elementals 5.

El principi d'inducció matemàtica 2 Límit d'una funció: definicions, operacions i indeterminacions Definició formal de límit i límits laterals Acotació local i àlgebra de límits Teorema del Sandwich i límit trigonomètric fonamental Límits infinits i límits a l'infinit Àlgebra d'infinits i resolució d'indeterminacions Comparació de funcions a l'infinit i escala d'infinits Infinitèsims, relació de negligibilitat i equivalències clàssiques 3 Continuïtat i teoremes fonamentals de les funcions contínues Continuïtat puntual i en un conjunt Exemples fonamentals de comportament continu i patològic Àlgebra de funcions contínues i composició Classificació de les discontinuïtats Teoremes fonamentals de les funcions contínues 4 La derivada: càlcul, propietats i regla de L'Hôpital Definició de derivada i interpretació geomètrica Derivades de funcions elementals des de la definició Relació entre derivabilitat i continuïtat Àlgebra de derivades i regla de la cadena Derivada de la funció inversa Tècnica de derivació logarítmica Existència de la derivada versus continuïtat de f'(x) Regla de L'Hôpital i formes indeterminades Reducció d'altres indeterminacions a L'Hôpital 5 Teoremes del valor mitjà, extrems, convexitat i representació gràfica Creixement puntual, creixement en un interval i extrems relatius Teorema de Rolle i Teorema del valor mitjà de Lagrange Conseqüències del Teorema de Lagrange: monotonia i funcions constants Aplicació a desigualtats i nombre de solucions d'equacions Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 1 Convexitat, concavitat i punts d'inflexió Criteris de les derivades successives per a la curvatura i els extrems Metodologia completa per a l'estudi i representació gràfica 6 Fórmula de Taylor i les seves aplicacions analítiques Ordre de contacte i definició del polinomi de Taylor Unicitat i càlcul dels coeficients de Taylor Polinomis de Taylor de funcions elementals Fórmula de Taylor i termes de resta: Lagrange, Cauchy i forma integral Aplicació 1: Càlculs numèrics aproximats i acotació de l'error Aplicació 2: Demostració de desigualtats funcionals Aplicació 3: Càlcul de límits i resolució d'indeterminacions 7 Formulari Límits, continuïtat i infinitèsims Regles de derivació i regla de L'Hôpital Teoremes fonamentals del càlcul diferencial i fórmula de Taylor Representació gràfica i criteris de curvatura Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 2 1 Conjunts numèrics, funcions elementals i principi d'inducció EN ACABAR SABRÀS Demostrar per reducció a l'absurd que l'arrel quadrada de 2 és irracional. Classificar aplicacions en injectives, exhaustives o bijectives i calcular les seves funcions inverses. Formular i aplicar la desigualtat triangular en entorns de la recta real. Demostrar identitats i sumatoris mitjançant el principi d'inducció matemàtica.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què no podem mesurar totes les longituds geomètriques senzilles utilitzant únicament nombres racionals? L'anàlisi matemàtica descansa sobre l'estructura dels conjunts numèrics, el comportament de les funcions reals i els mètodes de demostració formal. Aquest primer bloc estableix el llenguatge rigorós necessari per a tot el càlcul diferencial.

ESQUEMA Estructura del Càlcul Diferencial Fonaments matemàtics Nombres reals, funcions i inducció Conjunts numèrics De N fins a R i densitat Funcions elementals Domini, recorregut i inverses Límits i continuïtat Comportament puntual i global Límits Definicions i operacions Continuïtat Teoremes de Bolzano i Weierstrass Càlcul diferencial Derivades, extrems i Taylor Derivació Tècniques de càlcul diferencial Aproximació Fórmula i polinomis de Taylor Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 3 1. Els conjunts numèrics i la construcció dels nombres reals L'aritmètica comença amb els nombres naturals i s'amplia als nombres enters per poder resoldre restes generals.

Per fer divisions sorgeix el conjunt dels nombres racionals: Malgrat la seva riquesa algebraica, és insuficient per mesurar la totalitat de magnituds geomètriques elementals o per garantir solucions a equacions polinòmiques senzilles. DEFINICIÓ El conjunt dels nombres irracionals, denotat com , està format per tots aquells nombres reals que no es poden expressar com una fracció d'enters. Tenen un desenvolupament decimal infinit no periòdic. Insuficiència de Q: la incommensurabilitat de l'arrel de 2 Si es construeix un triangle rectangle amb catets d'una unitat de longitud, el teorema de Pitàgores estableix que la hipotenusa compleix .

Demostrem per reducció a l'absurd que cap nombre racional compleix aquesta propietat: A més d'aquest problema geomètric, funcions com definides sobre passen de valors negatius a positius sense passar mai per zero, creant «forats» a la línia numèrica. Això obliga a introduir el conjunt dels nombres reals, format per desenvolupaments decimals infinits: COMPROVA-HO 2 Per què la contradicció obtinguda a la demostració de l'arrel de 2 obliga a concloure que no pertany a Q? N = {1, 2, 3, … } Z = {… , 2, 1, 0, 1, 2, … } Q = : n Z, m Z {0} { m n } Q R Q x x = 2 1 + 2 1 = 2 2 Suposem que .

Aleshores existeixen i tals que , on suposem que la fracció és irreductible (és a dir, i no comparteixen cap factor comú). 1 2 Q n Z m Z {0} = 2 m n n m Elevant al quadrat ambdós costats, obtenim , la qual cosa implica directament . 2 2 = m2 n2 n = 2 2m2 Com que és un múltiple de 2, és parell. Sabem que el quadrat d'un nombre senar és senar; per tant, ha de ser necessàriament parell. Podem escriure per a algun enter . 3 n2 n2 n n = 2k k Substituint a l'equació anterior: . 4 n (2k) = 2 2m 2 4k = 2 2m 2 2k = 2 m2 Això implica que és parell i, per la mateixa raó d'abans, també és parell.

5 m2 m Hem deduït que tant com són divisibles per 2, la qual cosa contradiu la hipòtesi que la fracció era irreductible. Per tant, . 6 n m 2 / Q f(x) = x 2 2 Q R x = a ,a a a … a = 0 1 2 3 n a + 0 , a n=1 10n a n 0 Z, a n {0, 1, … , 9} Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 4 2. Intervals, entorns i densitat a la recta real Els nombres reals s'ordenen de manera natural sobre la recta real. Considerem habitualment subconjunts com ara unions ( ), interseccions ( ) i el producte cartesià . Dins de , els subconjunts més destacats són els intervals: Interval obert: . Interval tancat: .

Per estudiar propietats locals com la continuïtat o derivabilitat al voltant d'un punt amb radi , definim els entorns: DEFINICIÓ La densitat de i estableix que per a tot interval no buit es compleix: Això significa que qualsevol real es pot aproximar tant com es vulgui per nombres racionals o per irracionals. Tot i que ambdós conjunts són densos, la seva mida com a conjunts infinits és radicalment diferent: , i són numerables (es poden posar en bijecció amb ), mentre que el conjunt és no numerable. COMPROVA-HO 3 Què garanteix que entre dos nombres racionals qualssevol sempre hi hagi un nombre irracional? 3.

Marc formal d'aplicacions: imatges, injectivitat i inversa Una aplicació entre dos conjunts i és un subconjunt tal que per a tot existeix un únic amb . Escrivim i anotem , on és la imatge de i és una antiimatge de . Domini: conjunt de partida, . Recorregut o imatge: . Antiimatge d'un subconjunt: donat , . Gràfica: .

A B = {x : x A o x B} A B = {x : x A i x B} A × B = {(a, b) : a A, b B} R (a, b) = {x R : a < x < b} [a, b] = {x R : a x b} a R r > 0 I(a, r) = (a r, a + r) = {x R : a r < x < a + r} (a, r) = I [a r, a + r] = {x R : a r x a + r} Q R Q I R I Q = i I (R Q) = N Z Q N R A B R A × B a A b B (a, b) R f : A B b = f(a) b a a b D(f) = A R(f) = {b B : a A tal que f(a) = b} C B f (C) = 1 {x A : f(x) C} G(f) = {(a, b) A × B : b = f(a)} Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 5 DEFINICIÓ Classificació de les aplicacions segons les antiimatges dels elements del conjunt d'arribada: Injectiva: cada element de té com a màxim una antiimatge. És a dir, si , necessàriament .

Exhaustiva: cada element de té almenys una antiimatge; equival a dir que . Bijectiva: cada element de té exactament una antiimatge (és alhora injectiva i exhaustiva). Quan una aplicació és bijectiva, es defineix l'aplicació inversa mitjançant la relació . ERROR FREQÜENT Confondre que una funció falli en ser injectiva amb el fet que no sigui exhaustiva. Per exemple, per a : Com a , falla la injectivitat ( ) i falla l'exhaustivitat (els negatius no tenen antiimatge). Com a (amb ), és injectiva però no exhaustiva. Com a , és bijectiva i la seva inversa és . El domini i el codomini són determinants per a les propietats globals.

COMPROVA-HO 4 Si una funció real té dos valors diferents x_1 i x_2 tals que f(x_1) = f(x_2), pot ser bijectiva? 4. El catàleg de funcions elementals Una funció és una aplicació entre conjunts de nombres reals. Les funcions elementals constitueixen la base operativa del càlcul diferencial. Polinomis i funcions racionals Un polinomi de grau té la forma amb , i el seu domini és tot . Una funció racional és el quocient , on el domini exclou els zeros del denominador: . Valor absolut i desigualtat triangular La funció valor absolut es defineix a trossos: Geomètricament, representa la distància de a 0, i per translació, és la distància entre i . Això permet reescriure els entorns com i .

B f(a) = f(a ) a = a B R(f) = B B f : A B f : 1 B A f (b) = 1 a f(a) = b f(x) = x2 f : R R f(2) = f( 2) = 4 f : R + R R = + {x R : x > 0} f : R + R + f (y) = 1 y n p(x) = a + 0 a x + 1 + a x n n a = n 0 R Q(x) = q(x) p(x) D(Q) = R {x R : q(x) = 0} x = { x x si x 0 si x < 0 x x x a x a I(a, r) = {x R : x a < r} (a, r) = I {x R : x a r} Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 6 DEFINICIÓ La desigualtat triangular estableix que per a qualssevol es compleix: Funcions exponencials i logarítmiques Per a una base fixada , la funció exponencial s'estén des de les potències naturals i enteres ( , ) fins a les racionals ( , ), i finalment als nombres irracionals mitjançant límits d'aproximacions decimals racionals truncades.

Propietats fonamentals: , , . Si , la funció és estrictament creixent. Si , és estrictament decreixent. Gràfiques de la funció exponencial quan a > 1 i a < 1. Existeix una base privilegiada que fa que el pendent de la recta tangent a la corba en el punt sigui exactament 1 (vegeu «La derivada: càlcul, propietats i regla de L'Hôpital»). Com que l'exponencial és bijectiva, admet funció inversa, anomenada logaritme en base a: Quan la base és , s'anomena logaritme neperià i es denota indistintament com o bé .

Entre les seves propietats destaquen , i la fórmula del canvi de base: Funcions trigonomètriques Sobre el cercle unitari de radi 1, un angle mesurat en radiants determina coordenades cartesianes . A partir d'aquestes es defineixen i . x, y R x + y x + y a > 0 f(x) = ax a = 0 1 a = n 1/an a = 1/n n a a = n/m m an a a = x y ax+y (a ) = x y axy (ab) = x a b x x a > 1 a (0, 1) e (0, 1) f : R (0, + ) log y = a x a = x y e log y lny log (xy) = a log x + a log y a log (x ) = a y y log x a log x = a log b a log x = b log a log x x (cos x, sinx) tanx = cos x sin x cot x = = tan x 1 sin x cos x Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 7 Propietats directes: Periodicitat: i . Acotació: i .

Identitat fonamental (Pitàgores): . Angles dobles: i . Funció Domini Recorregut Inversabilitat global Polinòmica o semi-recta Només si és de grau 1 Valor absolut No (no injectiva) Exponencial ( ) Sí ( ) Logaritme Sí ( ) Sinus No (periòdica) Composició i funcions no elementals Donades dues aplicacions i amb , la seva composició és per a tot . Per exemple, la funció resulta de compondre successivament el sinus, el valor absolut, la translació en 1 unitat i el logaritme neperià. Convé destacar que no tota funció és elemental ni es pot expressar combinant sumes, productes o composicions clàssiques; un cas fonamental d'aquest tipus és la funció definida mitjançant una integral .

COMPROVA-HO 5 Quina condició és imprescindible per poder compondre g amb f com (g f)? 5. El principi d'inducció matemàtica El principi d'inducció és el mètode clau per verificar la validesa d'una propietat formulada per a tot nombre natural . DEFINICIÓ Si una propietat compleix les dues condicions següents: 1. Cas base: és certa. 2. Pas inductiu: Per a tot , la certesa de (anomenada hipòtesi d'inducció) implica que és certa. Aleshores, P(n) és certa per a tot n . Formalment, equival a afirmar que si conté l'1 i és tancat per la successió ( ), aleshores .

sin(x + 2π) = sinx cos(x + 2π) = cos x sinx 1 cos x 1 sin x + 2 cos x = 2 1 sin(2x) = 2 sinx cos x cos(2x) = cos x 2 sin x 2 D(f) R(f) p(x) R R x R [0, + ) ax a > 1 R (0, + ) f (y) = 1 log y a log x a (0, + ) R f (y) = 1 ay sin x R [ 1, 1] f : A B g : C D B C (g f)(x) = g(f(x)) x A F (x) = log(1 + sinx ) f(x) = e dt 0 x t2 P (n) n N P (n) P (1) n N P (n) P (n + 1) N A N n A n + 1 A A = N Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 8 EXEMPLE Demostrem per inducció que la suma dels primers naturals és: COMPROVA-HO 6 Què passa en una demostració per inducció si només es demostra el pas inductiu però s'omet comprovar el cas base?

IDEES CLAU El conjunt dels racionals té carències estructurals essencials, com la incommensurabilitat de demostrada per reducció a l'absurd. La recta real conté tant els racionals com els irracionals de manera densa, tot i que és numerable i és no numerable. La desigualtat triangular i els entorns formalitzen el concepte de distància en càlcul. Una aplicació només és invertible de manera global quan és alhora injectiva i exhaustiva (bijectiva). El principi d'inducció matemàtica permet demostrar afirmacions dependents d'un paràmetre natural verificant el cas base i el pas inductiu. n P (n) : 1 + 2 + 3 + + n = 2 n(n + 1) Cas base ( ): El costat esquerre val 1 i el costat dret val .

La propietat és certa. 1 n = 1 = 2 1(1+1) = 2 2 1 P (1) Pas inductiu: Suposem certa per a un determinat . Hem de deduir que també és certa, és a dir, que . 2 P (n) n P (n + 1) 1 + 2 + + n + (n + 1) = 2 (n+1)(n+2) Agrupem els primers termes aplicant la hipòtesi d'inducció: 3 (1 + 2 + + n) + (n + 1) = + 2 n(n + 1) (n + 1) Treiem factor comú o reduïm a comú denominador: 4 = 2 n(n + 1) + 2(n + 1) 2 (n + 1)(n + 2) Això demostra que és certa i completa la prova per a tot . 5 P (n + 1) n N Q 2 R Q R x + y x + y I(a, r) Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 9 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 7. Com s'expressa un entorn obert centrat en a de radi r mitjançant el valor absolut? 8.

Quina és la igualtat que defineix la relació entre l'exponencial de base a i el logaritme en base a? 9. Quins dos passos cal demostrar obligatòriament en el principi d'inducció matemàtica? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 10. Quin tipus de conjunt és el format pels nombres racionals Q en comparació amb R? 11. Què estableix la desigualtat triangular per a nombres reals? 12. Quan té aplicació inversa f ¹ una funció f: A B? 13. Quina propietat geomètrica defineix la base del nombre e a la funció eˣ?

2 Límit d'una funció: definicions, operacions i indeterminacions EN ACABAR SABRÀS Aplicar la definició èpsilon-delta per justificar l'existència del límit d'una funció en un punt. Avaluar límits laterals per determinar la convergència global d'una funció. Calcular límits trigonomètrics i algebraics emprant el teorema del Sandwich. Resoldre indeterminacions mitjançant la identitat exponencial, l'escala d'infinits i els infinitèsims equivalents.

Discret i no dens a la recta real a) No numerable, igual que el conjunt R b) Numerable, mentre que R és no numerable c) Finit, mentre que R és infinit d) "x + y" "x" + "y" a) "x + y" "x" + "y" b) "x · y" "x" + "y" c) "x - y" = "x" - "y" d) Quan és injectiva però no exhaustiva a) Sempre que el seu domini sigui R b) Quan és exhaustiva de manera estricta c) Quan és bijectiva d) Tangent de pendent 1 a (0,1) a) Talla l'eix d'abscisses a x = 1 b) Pendent de la tangent nul a l'origen c) Passa pel punt (1,0) amb pendent nul d) Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 10 PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 14 Com podem afirmar amb certesa el límit d'una funció en un punt si no és necessari conèixer quant val la funció exactament en aquest punt?

L'estudi del comportament d'una funció quan la variable independent s'aproxima a un determinat valor constitueix la base sobre la qual s'assenta tot el càlcul infinitesimal. ESQUEMA Estructura de l'estudi de límits d'una funció Definició formal de límit i límits laterals Considerem un subconjunt i una funció . Sigui un punt aproximable per elements de . Intuïtivament, diem que el límit de quan tendeix a és el valor si podem fer que estigui tan a prop de com vulguem prenent prou proper a , sense necessitat que .

DEFINICIÓ El límit d'una funció en un punt val , escrit , si per a cada nombre existeix un valor tal que: En termes d'intervals i entorns, aquesta implicació s'expressa de manera equivalent com: Sovint cal analitzar per separat què succeeix quan l'aproximació es fa exclusivament des d'una banda del punt : Límit lateral per la dreta ( ): escrivim si per a tot existeix tal que .

Fonaments i definició Definició èpsilon-delta, límits laterals i acotació Definició formal Entorns reduïts i control de l'error Límits laterals Aproximació dreta i esquerra Propietats i teoremes Àlgebra, desigualtats i el teorema del Sandwich Sandwich i sinus Límit fonamental de (sin x)/x Càlcul d'indeterminacions Formes indeterminades, nombre e i asímptotes Escala d'infinits Logaritme, potència i exponencial Infinitèsims equivalents Ordre i notació o petita D R f : D R a R D f(x) x a l R f(x) l x a x = a l R lim f(x) = x a l ε > 0 δ > 0 0 < x a < δ, x D f(x) l < ε x D (a δ, a + δ) {a} f(x) (l ε, l + ε) a x > a lim f(x) = x a+ l ε > 0 δ > 0 x (a, a + δ) D f(x) l < ε Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 11 Límit lateral per l'esquerra ( ): escrivim si per a tot existeix tal que .

Perquè el límit global existeixi, és condició necessària i suficient que ambdós límits laterals existeixin i prenguin exactament el mateix valor finit . EXEMPLE Demostrem que per a . Fixat un arbitrari, volem trobar tal que si , aleshores . Descomponem la diferència com . Mitjançant la desigualtat triangular (vegeu «Conjunts numèrics, funcions elementals i principi d'inducció»), tenim . Si imposem la condició addicional , obtenim: Per tant, n'hi ha prou amb escollir un que compleixi per assegurar que . No totes les funcions tenen límit. Un cas paradigmàtic d'oscil·lació infinita és la funció al voltant de l'origen. Si triem la successió de punts amb , que convergeix a 0, trobem .

En canvi, si prenem , que també tendeix a 0, obtenim . Atès que trobem valors diferents segons com ens apropem a 0, deduïm que no existeix. COMPROVA-HO 15 Què cal comprovar per assegurar que una funció té límit finit en un punt interior del seu domini? Acotació local i àlgebra de límits Recordem que una funció és acotada superiorment si existeix una constant tal que per a tot , i acotada inferiorment si per a tot . Diem que és acotada si ho és simultàniament per dalt i per baix, la qual cosa equival a l'existència d'un tal que per a tot punt del domini. DEFINICIÓ Teorema d'acotació local: Si , aleshores existeix un entorn de on la funció és acotada.

Demostració: Fixant en la definició de límit, garantim l'existència d'un radi tal que si , es compleix . Per tant, queda acotada en aquest entorn perforat per les fites i . Quan disposem de dues funcions amb límits finits coneguts en un punt , tals que i , podem operar amb ells mitjançant les regles de l'àlgebra de límits: Límit de la suma: .

x < a lim f(x) = x a l ε > 0 δ > 0 x (a δ, a) D f(x) l < ε l lim x = x a 2 a2 a > 0 ε > 0 δ > 0 0 < x a < δ x 2 a < 2 ε x 2 a = 2 x a x + a x + a x + a < (a + δ) + a = 2a + δ δ < a x 2 a < 2 δ(2a + δ) < 3aδ δ δ < 3a ε x 2 a < 2 ε f(x) = sin(1/x) x = k πk 1 k Z sin(1/x ) = k sin(πk) = 0 y = k π/2+2πk 1 sin(1/y ) = k sin(π/2 + 2πk) = 1 lim sin(1/x) x 0 f : D R C R f(x) C x D f(x) C x D C > 0 f(x) C lim f(x) = x a l R a f(x) ε = 1 δ > 0 x I(a, δ) {a} l 1 f(x) l + 1 f l 1 l + 1 f, g : D R a lim f(x) = x a l f lim g(x) = x a l g lim (f(x) + x a g(x)) = l + f l g Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 12 Límit del producte: .

Límit del quocient: Si en un entorn de i el límit del denominador no s'anul·la ( ), aleshores . Conservació de desigualtats febles: Si per a tot (o en un entorn de ), aleshores . ERROR FREQÜENT El pas al límit no conserva les desigualtats estrictes. Si per a tot d'un entorn, no podem concloure que , sinó únicament la desigualtat feble . Per exemple, prenent i , es compleix de manera estricta que per a tot . Malgrat això, en calcular els límits quan obtenim una igualtat estricta: COMPROVA-HO 16 Si una funció verifica f(x) > 0 en tot un entorn reduït de zero, podem assegurar que el seu límit quan x tendeix a zero serà estrictament positiu?

Teorema del Sandwich i límit trigonomètric fonamental Quan resulta complicat calcular el límit d'una funció de manera directa, podem encaixar-la entre dues altres funcions conegudes. DEFINICIÓ Teorema del Sandwich (o de l'encaix): Siguin funcions que compleixen l'ordenació per a tot . Si en el punt els límits dels extrems existeixen i coincideixen: aleshores la funció intermèdia també té límit en aquest punt i val necessàriament . Com a primera aplicació directa d'aquest resultat, sabem que per a qualsevol valor real es compleix la desigualtat (o particularment per a ). Atès que , deduïm immediatament que: Una segona aplicació crucial és la deducció del límit trigonomètric fonamental.

Per a qualsevol angle , la comparació geomètrica entre el sinus, l'arc de circumferència i la tangent ens proporciona la cadena de desigualtats .

Si dividim tota l'expressió per , obtenim: lim (f(x) x a g(x)) = l f l g g(x) = 0 a l = g 0 lim = x a g(x) f(x) l g l f f(x) g(x) x D a l f l g f(x) < g(x) x l < f l g l f l g f(x) = x g(x) = x + x2 f(x) < g(x) x > 0 x 0 f(x) = x 0 lim 0 = g(x) x 0 lim f, g, h : D R f(x) g(x) h(x) x D a R f(x) = x a lim h(x) = x a lim l lim g(x) = x a l x sinx x x sinx x x 0 lim ( x) = x 0 lim x = x 0 0 sinx = x 0 lim 0 x (0, π/2) sinx x tanx sinx > 0 1 sinx x cos x 1 cos x x sinx 1 Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 13 Com que , el teorema del Sandwich garanteix que: Per simetria par de la funció quocient, el resultat és idèntic per l'esquerra, establint que .

COMPROVA-HO 17 Quina hipòtesi sobre els límits de les funcions f(x) i h(x) és indispensable per aplicar el teorema del Sandwich a f(x) <= g(x) <= h(x)? Límits infinits i límits a l'infinit Una funció pot créixer o decréixer sense fitació quan la variable independent s'apropa a un punt finit, o bé podem voler estudiar el seu comportament asimptòtic quan la variable es fa arbitràriament gran. Tipus de límit Notació Definició formal Límit infinit en punt finit Per a tot existeix tal que . Límit menys infinit en punt finit Per a tot existeix tal que . Límit finit a l'infinit Per a tot existeix tal que . Límit finit a menys infinit Per a tot existeix tal que .

Límit infinit a l'infinit Per a tot existeix tal que . De forma similar es formalitzen els límits quan amb resultat , o quan cap a o .

Quan calculem el límit a l'infinit d'un quocient de dos polinomis i (amb ), traiem el terme de grau màxim com a factor comú: Com que per a tot , el comportament queda dictat exclusivament pels graus respectius: lim cos x = x 0+ 1 = x 0+ lim x sinx 1 lim = x 0 x sin x 1 lim f(x) = x a+ + M > 0 δ > 0 x (a, a + δ) f(x) > M lim f(x) = x a+ M > 0 δ > 0 x (a, a + δ) f(x) < M lim f(x) = x + l ε > 0 K > 0 x > K f(x) l < ε lim f(x) = x l ε > 0 K > 0 x < K f(x) l < ε lim f(x) = x + + M > 0 K > 0 x > K f(x) > M x + x + p(x) = a x + n n + a 0 q(x) = b x + m m + b 0 a , b > n m 0 = q(x) p(x) x (b + b /x + + b /x ) m m m 1 0 m x (a + a /x + + a /x ) n n n 1 0 n lim 1/x = x k 0 k N = x + lim q(x) p(x) + a /b n m 0 si n > m si n = m si n < m Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 14 Com que els infinits no són nombres ordinaris, qualsevol operació que els involucri ha d'estar degudament demostrada.

Si i , es verifiquen les següents propietats: (esquematitzat com ). (esquematitzat com ). (esquematitzat com ). si , i val si . COMPROVA-HO 18 Quin és el límit quan x tendeix a més infinit d'un quocient de polinomis si el grau del denominador és estrictament superior al del numerador? Àlgebra d'infinits i resolució d'indeterminacions Quan apliquem les regles algebraiques a límits de funcions, ens trobem sovint amb combinacions en què el coneixement dels límits individuals no permet deduir el límit global. Són les anomenades indeterminacions.

Forma d'indeterminació Comportament típic Estratègia algebraica de resolució Diferència de termes divergents Extreure factor comú dominant o multiplicar i dividir per l'expressió conjugada. Quocient de termes divergents Dividir pel grau o terme dominant, o comparar ritmes de creixement. Quocient de magnituds infinitesimals Factoritzar arrels comunes, racionalitzar o substituir per infinitèsims equivalents. Producte d'un terme anorreat i un divergent Reescriure com a quocient: o . Potències indeterminades Transformació logarítmica: . Per il·lustrar la indeterminació , prenem i . Ambdues funcions divergeixen cap a quan .

No obstant això: Això demostra que la diferència de dos infinits pot prendre valors completament diferents segons la velocitat de cada terme.

Pel que fa a les indeterminacions de base i exponent, l'eina principal consisteix a utilitzar la identitat exponencial general: lim f(x) = x + l lim g(x) = x + + lim (f(x) + x + g(x)) = + l + (+ ) = + lim (f(x) x + g(x)) = l (+ ) = lim = x + g(x) f(x) 0 l/(+ ) = 0 lim (f(x) x + g(x)) = + l > 0 l < 0 (+ ) (+ ) ± ± 0 0 0 (± ) f(x) g(x) = 1/f(x) g(x) 1/g(x) f(x) 1 , 0 , (± ) ± 0 0 f(x) = g(x) eg(x) log f(x) (+ ) (+ ) f(x) = x g(x) = x2 + x + (f(x) x + lim g(x)) = (x x + lim x ) = 2 (g(x) x + lim f(x)) = (x x + lim 2 x) = + Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 15 Amb aquesta conversió, l'estudi de la potència es redueix a determinar el límit del producte de l'exponent pel logaritme de la base (vegeu «Conjunts numèrics, funcions elementals i principi d'inducció»).

Dins d'aquestes formes exponencials, té una importància cabdal la definició analítica del nombre . La funció monòtona creixent és acotada superiorment quan , la qual cosa en garanteix la convergència: Generalitzant aquest resultat: sempre que tinguem una funció tal que , es compleix de forma immediata que: COMPROVA-HO 19 A quin tipus d'indeterminació es redueix la forma 1 elevated to infinity en utilitzar la identitat exponencial amb logaritmes? Comparació de funcions a l'infinit i escala d'infinits Quan dues funcions tendeixen simultàniament a , el càlcul del límit del seu quocient ens permet comparar formalment la seva celeritat de divergència.

DEFINICIÓ Escala d'infinits: Per a qualsevol base i qualsevol exponent positiu , es verifiquen els límits següents a més infinit: Aquestes relacions impliquen que qualsevol funció logarítmica creix més a poc a poc que qualsevol potència amb exponent positiu, i al seu torn qualsevol potència creix molt més a poc a poc que qualsevol funció exponencial de base estrictament superior a 1. Aquesta ordenació de dominància s'expressa de forma asimptòtica com: o utilitzant la notació de Landau com i quan .

f(x) = g(x) eg(x) log f(x) e f(x) = (1 + 1/x)x x + e = 1 + x + lim ( x 1 ) x lim f(x) = x + + 1 + = x + lim ( f(x) 1 ) f(x) e + a > 1 c > 0 = x + lim xc log x a 0 i = x + lim ax xc 0 log x a x c a (x x + ) log x = a o(x ) c x = c o(a ) x x + Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 16 PROCÉS Jerarquia en l'escala d'infinits a més infinit 1 Logarítmica log_a x (creixement més lent) 2 Potencial x^c amb exponent c > 0 3 Exponencial a^x amb base a > 1 (creixement dominant) Infinitèsims, relació de negligibilitat i equivalències clàssiques L'anàlisi de comportaments no es limita a magnituds que creixen arbitràriament; també és fonamental comparar quantitats que s'anul·len a la vora d'un punt.

DEFINICIÓ Diem que una funció és un infinitèsim quan si compleix: Si i són dos infinitèsims en , diem que és d'ordre superior a (o que és negligible respecte de ) si el seu quocient s'anul·la: En aquest cas escrivim mitjançant la notació de Landau quan . Diem que dos infinitèsims són infinitèsims equivalents en apropar-se a , i s'escriu quan , si el seu quocient tendeix exactament a la unitat: A partir del límit fonamental trigonomètric i de les relacions d'ordre, disposem d'exemples fonamentals quan : Equivalència del sinus: Atès que , tenim quan . Ordre del cosinus: La diferència compleix quan .

Per comprovar- ho, fem servir la identitat trigonomètrica : PER RECORDAR-HO Els infinitèsims equivalents només es poden substituir directament quan formen part d'un producte o quocient global. Mai no s'han de substituir a cegues dins de sumes o restes, ja que la cancel·lació de termes d'ordre coincident pot generar resultats erronis que requeriran el desenvolupament de Taylor (vegeu «Fórmula de Taylor i les seves aplicacions analítiques»).

f x a f(x) = x a lim 0 f g x a f g f g = x a lim g(x) f(x) 0 f(x) = o(g(x)) x a a f(x) g(x) x a = x a lim g(x) f(x) 1 x 0 lim = x 0 x sin x 1 sinx x x 0 1 cos x 1 cos x = o(x) x 0 1 cos x = 2 sin (x/2) 2 = x 0 lim x 1 cos x = x 0 lim 2 x ( x/2 sin(x/2) ) 2 0 1 = 2 0 Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 17 COMPROVA-HO 20 Què significa analíticament que f(x) sigui o(g(x)) quan x tendeix a un punt finit a? IDEES CLAU La definició formal de límit assegura que s'apropa tant com vulguem a dins d'un radi si és a una distància no nul·la menor que de . El pas al límit conserva les desigualtats febles ( ), però mai les estrictes ( ).

El teorema del Sandwich permet trobar el límit d'una funció acotada per dues altres que convergeixen al mateix valor, fonament del resultat . L'escala de creixement a més infinit estableix una jerarquia estricta: logaritme potència exponencial. Dues funcions són infinitèsims equivalents si el límit del seu quocient és 1 quan ambdues tendeixen a zero. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 21. Com s'expressa mitjançant intervals i entorns la definició èpsilon-delta de límit d'una funció f(x) en el punt a? 22. Per què f(x) < g(x) en tot punt no garanteix que el límit de f sigui estrictament menor que el de g? 23.

Com es defineix formalment que una funció f sigui un infinitèsim d'ordre superior a una altra funció g en apropar-se a a? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 24. Quin valor té el límit quan x tendeix a 0 de la funció sin(1/x)? 25. Si una funció té límit finit l en el punt a, què podem assegurar sobre la funció? 26. Quin és el límit quan x tendeix a més infinit de (log x) / ?

f(x) l ε x δ a < lim (sinx)/x = x 0 1 No existeix per oscil·lació a) Tendeix a infinit b) Val 1 c) Val 0 d) És sempre positiva a) És monòtona creixent b) Val exactament l en x = a c) És acotada en un entorn de a d) x2 Més infinit a) 0 b) 1 c) No existeix d) Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 18 27. Dues funcions f i g són infinitèsims equivalents en un punt si el límit del seu quocient val: 3 Continuïtat i teoremes fonamentals de les funcions contínues EN ACABAR SABRÀS Identificar i classificar rigorosament les discontinuïtats evitables, de salt i essencials. Aplicar el teorema de Bolzano per localitzar zeros de funcions i arrels de polinomis.

Utilitzar el teorema de Weierstrass per justificar l'existència d'extrems absoluts en conjunts tancats i acotats. Calcular límits de funcions exponencials compostes mitjançant la continuïtat del logaritme. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 28 Pot una funció contínua passar d'un valor negatiu a un de positiu sense creuar mai el zero en una recta sense forats? Continuïtat puntual i en un conjunt La idea de continuïtat tradueix geomètricament el fet de no trencar el traç d'una corba. De manera analítica, una funció és contínua en un punt quan el seu comportament al voltant d'aquest punt coincideix exactament amb el valor que pren la funció en ell mateix.

DEFINICIÓ Sigui una funció definida sobre un domini i sigui un punt . Diem que és contínua al punt a si existeix el límit de la funció en apropar-se a i aquest és igual a : Utilitzant el formalisme d'entorns, això significa que per a tot nombre positiu existeix un tal que si , aleshores la imatge compleix que (per a més detalls de la formulació amb entorns, vegeu «Límit d'una funció: definicions, operacions i indeterminacions»). Quan aquesta propietat falla en el punt , es diu que la funció és discontínua a . Si la funció és contínua en cada un dels punts d'un conjunt , diem que és contínua a i escrivim .

0 a) Infinit b) 1 c) Qualsevol constant no nul·la d) f : D R D R a D f a f(a) f(x) = x a lim f(a) ε > 0 δ > 0 x D I(a, δ) f(x) I(f(a), ε) a a D f D f C(D) Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 19 Exemples fonamentals de comportament continu i patològic L'anàlisi de diverses funcions il·lustra situacions singulars de continuïtat puntual o global: Funció part sencera: La funció associa a cada nombre real el nombre enter més gran que és inferior o igual a ell. Aquesta funció resulta contínua a tots els punts , mentre que és discontínua a cada un dels punts enters degut al salt unitari en el seu valor. Gràfica de la funció part sencera amb salts als enters.

Funció de Dirichlet: Es defineix com si i si . Aquesta funció és discontínua a tot arreu com a conseqüència directa de la propietat de densitat dels nombres racionals i irracionals a la recta real (vegeu «Conjunts numèrics, funcions elementals i principi d'inducció»). A l'entorn de qualsevol punt real existeixen infinites imatges iguals a 0 i infinites iguals a 1, fet que impedeix l'existència de límit en cap punt. Funció oscil·latòria amortida: Considerem la funció definida per trossos: Com que la funció sinus està acotada per , el producte per tendeix a zero quan gràcies al teorema del Sandwich (vegeu «Límit d'una funció: definicions, operacions i indeterminacions»).

Per tant, , convertint-la en contínua a tot . f(x) = [x] a R Z a Z f(x) = 1 x Q f(x) = 0 x R Q f(x) = { x sin(1/x) 0 si x = 0 si x = 0 1 sin(1/x) 1 x x 0 lim x sin(1/x) = x 0 0 = f(0) R Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 20 Gràfica de la funció contínua x per sinus d'un entre x. Funció oscil·latòria no amortida: En canvi, si prenem per a i , la funció oscil·la infinitament entre -1 i 1 prop de l'origen. Com que el límit no existeix, la funció és discontínua a . COMPROVA-HO 29 Per què la presència del factor x a la funció f(x) = x sin(1/x) garanteix la continuïtat a l'origen, mentre que sin(1/x) és discontínua?

Àlgebra de funcions contínues i composició Les propietats conegudes per als límits d'operacions permeten establir immediatament la preservació de la continuïtat respecte a les operacions algebraiques estàndard. Siguin dues funcions contínues al punt . Es compleix que: La suma és contínua al punt . El producte és continu al punt . El quocient és continu al punt , sempre que es verifiqui per a tot punt de (o en tot un entorn d' ).

Així mateix, la continuïtat es conserva en realitzar la composició de funcions: f(x) = sin(1/x) x = 0 f(0) = 0 lim sin(1/x) x 0 a = 0 f, g : D R a D f + g a f g a f/g a g(x) = 0 D a Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 21 PER RECORDAR-HO Siguin i tals que la imatge de està continguda en el domini de , és a dir, . Si la funció interior és contínua al punt i la funció exterior és contínua al punt resultant , aleshores la funció composta és contínua a . Aquesta propietat es demostra aplicant la definició amb entorns: donat un , la continuïtat de a assegura un tal que si , aleshores . Posteriorment, la continuïtat de a garanteix l'existència d'un radi tal que si , es té .

Fent , s'obté la tesi . Com a exemple d'aplicació directa, la funció definida per és contínua al punt , atès que el factor s'anul·la en el límit mentre que el sinus interior roman acotat.

Continuïtat de funcions de tipus exponencial-potencial Atès que les funcions exponencial i logaritme neperià són contínues en els seus dominis respectius (vegeu «Conjunts numèrics, funcions elementals i principi d'inducció»), podem tractar funcions generals de la forma mitjançant la transformació canònica: Suposant que , que existeix el límit amb , i que existeix el límit , podem calcular el límit global intercanviant límit i funció contínua: COMPROVA-HO 30 Quin requisit és indispensable sobre el límit l de la base f(x) per avaluar directament el límit de f(x)^g(x) com e^(t log l)?

Classificació de les discontinuïtats Segons la manera com falla la igualtat , les discontinuïtats es divideixen en diferents categories analítiques: f : D R g : E R f g f(D) E f a D g f(a) E g f a ε > 0 g f(a) δ > 0 y E I(f(a), δ) g(y) I(g(f(a)), ε) f a η > 0 x D I(a, η) f(x) I(f(a), δ) y = f(x) g(f(x)) I(g(f(a)), ε) f(x) = { sinx sin (sin x π ) 0 si x ( π/2, π/2) {0} si x = 0 a = 0 sinx f(x)g(x) f(x) = g(x) eg(x) log f(x) f(x) > 0 lim f(x) = x a l = 0 l > 0 lim g(x) = x a t f(x) = x a lim g(x) e = x a lim g(x) log f(x) e = t log l lt lim f(x) = x a f(a) Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 22 ESQUEMA Classificació de les discontinuïtats Tipus de discontinuïtat Condició sobre els límits Comportament gràfic Evitable Existeix el límit , però (o el valor puntual no està definit).

La corba presenta un únic punt foradat desplaçat o absent. Es corregeix redefinint com el límit. De salt Existeixen els dos límits laterals finits i , però són diferents: . La gràfica pateix un esglaó sobtat. La magnitud del decalatge és precisament la diferència . Essencial Almenys un dels límits laterals o és infinit ( o ). La funció creix o decreix de manera desmesurada vora el punt formant una asímptota vertical. Convé destacar que no totes les singularitats queden recollides sota aquests tres supòsits concrets.

Per exemple, en la funció oscil·latòria a l'origen, cap límit lateral no és infinit ni tampoc cap límit lateral existeix com a valor finit; per tant, aquesta discontinuïtat no és evitable, ni de salt, ni essencial en aquest sentit estricte. Discontinuïtats en funcions monòtones El comportament d'una funció monòtona és extremadament ordenat: totes les seves discontinuïtats són necessàriament de salt. Suposem que és una funció creixent, és a dir, sempre que . Fixem un punt : Per a tot , es té . Això significa que el conjunt de valors a l'esquerra està acotat superiorment per . En ser una funció creixent acotada per dalt, existeix necessàriament el límit lateral per l'esquerra finit .

Anàlogament, per a tot , es té , de manera que la funció està acotada inferiorment per quan ens apropem per la dreta. En ser creixent i acotada per sota, existeix el límit lateral per la dreta finit .

Discontinuïtat evitable Existeix el límit però difereix de la funció Discontinuïtat de salt Límits laterals finits però diferents Discontinuïtat essencial Un límit lateral és infinit lim f(x) x a lim f(x) = x a f(a) f(a) f(a ) = + lim f(x) x a+ f(a ) = lim f(x) x a f(a ) = + f(a ) f(a ) + f(a ) f(a ) + f(a ) + f(x) = sin(1/x) f f(x) f(y) x y a D x < a f(x) f(a) f(a) lim f(x) x a x > a f(x) f(a) f(a) lim f(x) x a+ Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 23 Com que ambdós límits laterals existeixen obligatòriament i són finits, la funció només pot ser contínua (si coincideixen) o presentar una discontinuïtat de salt (si difereixen). L'argument per a funcions decreixents és anàleg.

ERROR FREQÜENT Classificar erròniament les singularitats oscil·latòries. Davant d'una expressió com a , molts estudiants afirmen que és una discontinuïtat de salt o essencial. Cap dels dos casos és cert: els límits laterals no divergeixen a infinit (per tant, no és essencial) ni convergeixen a valors concrets diferents (per tant, no és de salt). És una singularitat oscil·latòria que no encaixa en la classificació ordinària dels límits laterals finits o infinits. Teoremes fonamentals de les funcions contínues Quan treballem sobre intervals tancats i acotats de la forma , la continuïtat té implicacions globals de gran transcendència.

Teorema de Weierstrass Diem que una funció assoleix un màxim absolut al punt si per a tot . Anàlogament, assoleix un mínim absolut al punt si per a tot . DEFINICIÓ Teorema de Weierstrass: Tota funció contínua en un interval tancat i acotat és acotada i assoleix màxim i mínim absoluts. És fonamental notar que si l'interval no és tancat o no és acotat, el resultat no és cert. Per exemple, la funció en l'interval obert és contínua i acotada, però mai no assoleix cap màxim ni mínim absolut dins de l'interval obert, ja que els extrems i no pertanyen al domini.

Teorema de Bolzano El teorema de Bolzano estableix formalment que una funció contínua no pot canviar de signe sense tallar necessàriament l'eix d'abscisses. DEFINICIÓ Teorema de Bolzano: Si és contínua i , existeix c pertanyent a (a, b) tal que f(c) = 0. La demostració constructiva del teorema es basa en el mètode de la bisecció, un procediment recurrent que divideix repetidament l'interval per la meitat: sin(1/x) x = 0 [a, b] f : D R c D f(x) f(c) x D d D f(x) f(d) x D f : [a, b] R f(x) = x (a, b) a b f : [a, b] R f(a) f(b) < 0 Definim l'interval inicial com a , on sabem que els signes de la funció als extrems compleixen .

1 I = 0 [a, b] f(a) f(b) < 0 Calculem el punt mig de l'interval per dividir-lo en dues meitats d'igual longitud, cadascuna amb mesura . 2 2 b a Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 24 Com a aplicació clau del teorema de Bolzano, podem demostrar que tot polinomi de grau imparell té com a mínim una arrel real. Sigui un polinomi amb i amb grau imparell. Suposem sense pèrdua de generalitat que el coeficient principal és positiu, . Si factoritzem la potència màxima: Per tant, podem trobar un valor prou gran tal que . De la mateixa manera, atès que és imparell, quan tenim , de manera que: Això assegura l'existència d'un punt prou allunyat cap a l'esquerra tal que .

Com que tot polinomi és una funció contínua a tot , el teorema de Bolzano aplicat a l'interval garanteix que existeix algun que compleix . El cas en què es dedueix de forma totalment anàloga. COMPROVA-HO 31 Per què no es pot garantir pel teorema de Bolzano que un polinomi de grau parell tingui arrels reals? Teorema del valor intermedi Una conseqüència directa del teorema de Bolzano és el teorema del valor intermedi, conegut també com a propietat de Darboux. DEFINICIÓ Teorema del valor intermedi: Sigui una funció contínua i sigui un valor qualsevol comprès entre i . Aleshores existeix c pertanyent a [a, b] tal que f(c) = z.

Per demostrar-ho, n'hi ha prou amb aplicar el teorema de Bolzano a la funció auxiliar . Si o , el resultat és immediat. Si no, en trobar-se estrictament entre i , les imatges i tenen signes oposats. Atès que és contínua, existeix tal que , la qual cosa implica directament . Com a corol·lari combinat amb el teorema de Weierstrass, si i són els punts d'un interval on s'assoleixen respectivament el mínim i el màxim absoluts de la funció contínua , la imatge directa de l'interval tancat és exactament l'interval tancat que va des del valor mínim fins al valor màxim: Si la funció val zero en el punt mig, hem localitzat l'arrel.

En cas contrari, la funció pren valors de signe oposat als extrems d'almenys una de les dues meitats. Ens quedem amb aquest nou subinterval. 3 Repetim el procediment iterativament sobre el subinterval escollit. A l'etapa -èsima, la longitud de l'interval és . Quan , la successió d'intervals encaixats convergeix a un punt on la funció s'anul·la obligatòriament: .

4 n 2n b a n c (a, b) f(c) = 0 p (x) = n a + 0 a x + 1 + a x n n a = n 0 n a > n 0 p (x) = x + lim n x + + + a = x + lim n ( xn a 0 xn 1 a 1 n) " + a " = n + b R p (b) > n 0 n x x n p (x) = x lim n a R p (a) < n 0 R [a, b] c (a, b) p (c) = n 0 a < n 0 f : [a, b] R z f(a) f(b) g(x) = f(x) z g(a) = 0 g(b) = 0 z f(a) f(b) g(a) g(b) g c (a, b) g(c) = 0 f(c) = z m M [a, b] f f([a, b]) = [f(m), f(M)] Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 25 Això demostra que la continuïtat transforma intervals tancats i acotats en nous intervals tancats i acotats, sense deixar cap forat intermedi en el conjunt d'imatges.

IDEES CLAU Una funció és contínua a un punt quan el límit coincideix amb el valor de la funció: . Les operacions algebraiques bàsiques i la composició de funcions preserven la continuïtat puntual i global. Les discontinuïtats es divideixen en evitables (límit finit existent diferent del valor puntal), de salt (límits laterals finits diferents) i essencials (almenys un límit lateral infinit). Totes les discontinuïtats d'una funció monòtona són estrictament de salt. El teorema de Weierstrass assegura que tota funció contínua sobre un interval tancat i acotat assoleix màxim i mínim absoluts.

El teorema de Bolzano garanteix que si una funció contínua canvia de signe als extrems de , existeix com a mínim un zero . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 32. Quina hipòtesi sobre l'interval és imprescindible en el teorema de Weierstrass i quin contraexemple senzill mostra la seva necessitat? 33. En què consisteix el procediment de bisecció usat per demostrar el teorema de Bolzano? 34. Quin tipus de discontinuïtat presenta necessàriament una funció monòtona creixent en un punt on falla la continuïtat? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 35. Quin tipus de discontinuïtat té una funció si existeix el seu límit finit però no coincideix amb f(a)? 36.

Quin resultat assegura que tota funció contínua en un interval tancat i acotat assoleix extrems absoluts? lim f(x) = x a f(a) [a, b] [a, b] c (a, b) Discontinuïtat de salt a) Discontinuïtat evitable b) Discontinuïtat essencial c) Discontinuïtat oscil·latòria d) Teorema del Sandwich a) Teorema de Weierstrass b) Teorema de Bolzano c) Teorema de Darboux d) Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 26 37. Per què un polinomi de grau imparell té almenys una arrel real? 38. Si f és contínua a [a, b], amb mínim m i màxim M, quina és la seva imatge f([a, b])?

4 La derivada: càlcul, propietats i regla de L'Hôpital EN ACABAR SABRÀS Calcular derivades puntuals mitjançant la definició de quocient incremental. Distingir amb precisió entre continuïtat, derivabilitat puntual i continuïtat de la funció derivada. Aplicar la regla de la cadena, la derivada de la funció inversa i la derivació logarítmica. Resoldre indeterminacions analítiques utilitzant de manera rigorosa la regla de L'Hôpital. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 39 Pot una funció tenir una corba suau sense salts i, tanmateix, no admetre recta tangent en algun punt? L'anàlisi matemàtica no només s'interessa pel valor que pren una magnitud, sinó principalment per com evoluciona i a quin ritme canvia.

La derivada és l'eina fonamental que quantifica aquesta variació instantània i permet aproximar corbes mitjançant rectes. Perquè té una discontinuïtat de salt a) Té límits oposats a l'infinit i s'aplica Bolzano b) Perquè assoleix sempre un extrem absolut c) Tota funció monòtona és contínua d) La recta real completa a) L'interval obert (f(a), f(b)) b) Només els dos valors {f(m), f(M)} c) L'interval tancat [f(m), f(M)] d) Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 27 ESQUEMA Estructura del Càlcul Diferencial (Tema 3) Definició de derivada i interpretació geomètrica Considerem una funció definida en un interval i un punt .

Diem que és derivable en si existeix el límit del quocient incremental quan la variació tendeix a zero: Quan aquest límit existeix i és finit, denotem el seu valor per . De manera equivalent, la derivabilitat expressa que podem fer una bona aproximació afí de la funció al voltant de : DEFINICIÓ L'aplicació lineal donada per rep el nom de diferencial de f en el punt a, i es designa per . Aquesta interpretació lineal constitueix la base per estendre el concepte de derivabilitat a funcions de diverses variables. Geomètricament, el quocient coincideix amb el pendent de la recta secant que connecta els punts i del gràfic, és a dir, .

Quan s'acosta a , aquesta recta secant convergeix cap a la recta tangent. Per tant, el valor f'(a) és el pendent de la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa .

Fonaments de la Derivada Quocient incremental, tangència i diferencial Interpretació Geomètrica Pendent de secants i recta tangent Regularitat analítica Derivabilitat implica continuïtat Tècniques de Càlcul Àlgebra, cadena, inversa i logarítmica Derivació de la Inversa Càlcul per a arcsinus i logaritme Derivació Logarítmica Tractament de funcions f(x)^g(x) Regla de L'Hôpital Resolució de formes indeterminades Formes Bàsiques Casos quocient 0/0 i infinit/infinit Formes Reduïbles Productes, diferències i potències f I a I f a f (a) = = x a lim x a f(x) f(a) h 0 lim h f(a + h) f(a) f (a) a = x a lim x a f(x) f(a) f (a)(x a) 0 L : R R L(x) = f (a)x df a x a f(x) f(a) (a, f(a)) (x, f(x)) tanα x a a Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 28 COMPROVA-HO 40 Quina relació geomètrica té la derivada f'(a) amb el gràfic de la funció?

Derivades de funcions elementals des de la definició Podem obtenir directament les taxes de variació de les funcions bàsiques calculant el quocient incremental: Funció constant: Si , tenim . Per tant, la derivada d'una constant és sempre 0. Potència entera: Per a amb , factoritzem el numerador mitjançant . En simplificar i passar al límit, obtenim . Funció exponencial: Si amb , efectuem el canvi . Llavors . En fer el límit quan (és a dir, ), resulta . En particular, si la base és el nombre d'Euler, . Funció sinus: Per a , apliquem la identitat trigonomètrica de diferència de sinus: .

Utilitzant el límit trigonomètric fonamental (vegeu «Límit d'una funció: definicions, operacions i indeterminacions»), deduïm que . Relació entre derivabilitat i continuïtat La derivabilitat imposa una exigència de regularitat superior a la continuïtat elemental: TEOREMA Si una funció és derivable en un punt , aleshores f és necessàriament contínua en a. La demostració és immediata descomponent la diferència com a producte pel terme incremental: Això garanteix que , que és la condició de continuïtat (vegeu «Continuïtat i teoremes fonamentals de les funcions contínues»). ERROR FREQÜENT Assumir que el recíproc és cert és un dels errors més greus: la continuïtat no implica derivabilitat.

L'exemple paradigmàtic és en el punt 0. Aquesta funció és contínua a tot , però els límits laterals del quocient incremental difereixen: Com que els límits laterals no coincideixen, la derivada no existeix a l'origen. Hi ha fins i tot funcions contínues que no són derivables en cap punt del seu domini.

f(x) = C lim = x a x a C C 0 f(x) = xn n N x n a = n (x a)(x + n 1 x a + n 2 + a ) n 1 f (a) = nan 1 f(x) = bx b > 0 y = b x a 1 x a = log (1 + b y) x a y 0 f (a) = b log b a (e ) = x ex f(x) = sinx sinx sina = 2 cos sin ( 2 x+a ) ( 2 x a ) f (a) = cos a f a I (f(x) x a lim f(a)) = (x x a lim x a f(x) f(a) a) = f (a) 0 = 0 lim f(x) = x a f(a) f(x) = x R = x 0+ lim x 0 x 0 1 = = x 0 lim x 0 x 0 1 Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 29 COMPROVA-HO 41 Si una funció és contínua en x = 3, podem assegurar que existeix la seva recta tangent en aquest punt?

Àlgebra de derivades i regla de la cadena Si i són derivables en un punt , les combinacions aritmètiques habituals també ho són: Operació Fórmula de la derivada Condicions Suma Cap addicional Producte Cap addicional Quocient a l'entorn de Per justificar la fórmula del quocient, es demostra primer que la funció recíproca té derivada passant al límit incremental i utilitzant la continuïtat de . Després s'aplica la regla del producte a . Per a la composició de funcions s'utilitza la regla de la cadena. Si és derivable en i és derivable en : La demostració es fonamenta en la factorització del quocient incremental: on s'aprofita que degut a la continuïtat de en .

Derivada de la funció inversa Considerem una funció injectiva i contínua definida en un interval (vegeu «Conjunts numèrics, funcions elementals i principi d'inducció»). Si és derivable en amb pendent no nul, la seva funció inversa admet derivada en el punt corresponent : Aquesta expressió prové de diferenciar la identitat mitjançant la regla de la cadena: . La condició és indispensable. Per exemple, és estrictament creixent i derivable a tot arreu, però a l'origen té ; com a conseqüència, la seva inversa no és derivable a .

Aquest teorema permet calcular fàcilment derivades transcendentals: f g a (f + g) (a) = f (a) + g (a) (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a) (a) = (g f ) (g(a))2 f (a)g(a) f(a)g (a) g(a) = 0 a (1/g) (a) = g (a)/(g(a)) 2 g f (1/g) f a g b = f(a) (g f) (a) = g (f(a))f (a) = x a lim x a g(f(x)) g(f(a)) = x a lim ( f(x) f(a) g(f(x)) g(f(a)) x a f(x) f(a) ) g (f(a))f (a) f(x) f(a) f a f [a, b] x 0 (a, b) f 1 y = 0 f(x ) 0 (f ) (y ) = 1 0 = f (x ) 0 1 f (f (y )) 1 0 1 f (f(x)) = 1 x (f ) (f(x))f (x) = 1 1 f (x ) = 0 0 f(x) = x3 f (0) = 0 f (y) = 1 y1/3 y = 0 Arrel n-èsima: Per a , la inversa és . Aplicant la fórmula: .

1 f(x) = xn f (y) = 1 y1/n (f ) (y) = 1 = n(y ) 1/n n 1 1 y n 1 1 n 1 Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 30 COMPROVA-HO 42 Per què la funció f(x) = x³ no té funció inversa derivable en el punt 0? Tècnica de derivació logarítmica Quan ens trobem amb expressions on tant la base com l'exponent depenen de la variable independent, com ara , o amb productes complicats, és molt pràctic prendre logaritmes abans de derivar. Si prenem logaritmes neperians a banda i banda de : Derivant implícitament respecte a amb la regla de la cadena, tenim , d'on s'aïlla immediatament: EXEMPLE Volem calcular la derivada de per a .

Existència de la derivada versus continuïtat de f'(x) Convé distingir clarament entre el fet que una funció sigui derivable en un punt i la continuïtat de la funció derivada resultant. Que existeixi no implica necessàriament que existeixi ni que aquest límit valgui . Considerem el cas clàssic següent: Logaritme natural: La inversa de l'exponencial és . Per tant: . 2 f(x) = ex f (y) = 1 log y (log y) = = elog y 1 y 1 Funció arcsinus: La restricció bijectiva de en té com a inversa .

Utilitzant la relació per a : 3 y = sinx ( π/2, π/2) x = arcsiny cos(arcsiny) = = 1 sin (arcsiny) 2 1 y2 y ( 1, 1) (arcsiny) = = cos(arcsiny) 1 1 y2 1 y = f(x)g(x) y = f(x) log y = log f(x) x = y(x) y (x) (log f(x)) y (x) = y(x) (log f(x)) f(x) = xx x > 0 Apliquem el logaritme: . 1 log f(x) = x log x Derivem el membre dret aplicant la regla del producte: .

2 (log f(x)) = 1 log x + x = x 1 1 + log x Multipliquem pel valor de la funció original: 3 f (x) = x (1 + x log x) f (a) lim f (x) x a f (a) f(x) = { x sin 2 (x 1 ) 0 si x = 0 si x = 0 Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 31 En el punt , calculem la derivada directament mitjançant la definició: ja que és el producte d'un infinitèsim per una funció fitada (vegeu «Límit d'una funció: definicions, operacions i indeterminacions»). Per tant, f és plenament derivable a l'origen amb f'(0) = 0. Ara bé, si , derivem amb les regles habituals: Quan prenem el límit quan , el terme tendeix a 0, però el terme oscil·la indefinidament entre -1 i 1.

En conseqüència, no existeix i la derivada és discontínua a l'origen. Regla de L'Hôpital i formes indeterminades Quan l'avaluació directa d'un límit condueix a un quocient indeterminat, la derivació permet comparar la velocitat de canvi de les funcions del numerador i del denominador. REGLA DE L'HÔPITAL Siguin funcions derivables a , amb , tals que per a tot . Suposem que el límit és una indeterminació del tipus o bé . Si existeix el límit del quocient de les derivades (finit o infinit): aleshores també existeix el límit original i coincideix amb ell: . El resultat és anàleg per a límits per l'esquerra o límits bilaterals.

Per exemple, en calcular el comportament asimptòtic del logaritme davant de la funció lineal: De la mateixa manera, per a constants : Reducció d'altres indeterminacions a L'Hôpital Les altres formes indeterminades es redueixen algebraicament als casos bàsics o per poder aplicar la regla: a = 0 f (0) = = x 0 lim x 0 x sin(1/x) 0 2 x sin = x 0 lim ( x 1 ) 0 x = 0 f (x) = 2x sin ( x 1 ) cos ( x 1 ) x 0 2x sin(1/x) cos(1/x) lim f (x) x 0 f f, g (a, b) a < b + g (x) = 0 x (a, b) x a+ lim g(x) f(x) 0/0 / l = x a+ lim g (x) f (x) lim = x a+ g(x) f(x) l x b = x + lim x log x = x + lim 1 1/x = x + lim x 1 0 a, b = 0 = x 0 lim sin(bx) sin(ax) = x 0 lim bcos(bx) a cos(ax) = b 1 a 1 b a 0/0 / Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 32 1.

Diferència : Es transforma sumant o restant fraccions: Per exemple, per a escrivim (que és de tipus ). En derivar numerador i denominador: 2. Producte : S'inverteix un dels dos factors per generar un quocient: Així, per a , plantegem (de tipus ). Aplicant L'Hôpital: 3. Potències indeterminades , , : Es converteixen mitjançant la identitat exponencial , traslladant el càlcul al límit de l'exponent , que és del tipus . Un cas important és la justificació analítica del nombre quan : El límit de l'exponent s'avalua com a quocient: En ser el límit de l'exponent igual a 1, l'expressió exponencial global convergeix efectivament a .

COMPROVA-HO 43 Quina transformació algebraica s'aplica per avaluar una indeterminació del tipus 0 · amb la regla de L'Hôpital?

PROCÉS Procés de la Derivació Logarítmica 1 Equació inicial Partim de la relació y = f(x)^g(x) 2 Prendre logaritmes log y = g(x) · log f(x) 3 Derivació implícita y'/y = [g(x) · log f(x)]' 4 Aïllament de la derivada Multipliquem la derivada per y (+ ) (+ ) f(x) g(x) = f(x)g(x) 1 g(x) 1 f(x) 1 lim x 0 (x 1 sin x 1 ) x sin x sin x x 0/0 = x 0 lim sinx + x cos x cos x 1 0 0 f(x)g(x) = 1/g(x) f(x) lim log x x 0+ x lim x 0+ x 1/2 log x / + = x 0+ lim x 2 1 3/2 1/x 2 x = x 0+ lim 1/2 0 1 00 0 f(x) = g(x) eg(x) log f(x) g(x) log f(x) 0 e lim f(x) = x a + 1 + = x a lim ( f(x) 1 ) f(x) e f(x) log 1 + = x a lim ( f(x) 1 ) = x a lim 1/f(x) log(1 + 1/f(x)) = x a lim (f(x))2 f (x) 1+1/f(x) 1 (f(x))2 f (x) = x a lim 1 + 1/f(x) 1 1 e = 1 e Introducció al Càlcul Diferencial: Apunts i Formulari 33 IDEES CLAU La derivada és el límit del quocient incremental i representa geomètricament el pendent de la recta tangent a la corba en el punt .

Tota funció derivable en un punt és necessàriament contínua en aquest punt, però el recíproc és fals, tal com demostra la funció valor absolut a l'origen. La regla de la funció inversa estableix que sempre que . La tècnica de derivació logarítmica simplifica les funcions potencial-exponencials aprofitant la relació . L'existència de la derivada puntual no garanteix que la funció derivada sigui contínua en aquest mateix punt. La regla de L'Hôpital resol límits indeterminats i calculant el límit del quocient de les derivades, al qual es poden reduir les altres indeterminacions. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 44. Per què la continuïtat de no garanteix la seva derivabilitat en un punt? 45.

Com s'expressa la derivada d'una funció composta segons la regla de la cadena? 46. Quina condició sobre la funció derivada del denominador exigeix l'enunciat rigorós de la regla de L'Hôpital? Test Encercla la resposta…