Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos

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APUNTES INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL Grado en Matemáticas Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de cálculo diferencial: funciones elementales e hiperbólicas, órdenes de infinitésimos, infinitos equivalentes y límites resueltos. APREN.AI Índice 1 Funciones elementales I — Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonométricas Funciones polinómicas, racionales y valor absoluto Funciones trigonométricas directas Funciones trigonométricas inversas y restricción de dominio 2 Funciones elementales II — Exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas y potenciales 1. Función exponencial y función logarítmica 2. Funciones hiperbólicas directas e inversas 3.

Función potencial general 3 Teoría de infinitésimos — Órdenes y equivalencias asintóticas Definición formal y comparación de infinitésimos Fundamentación geométrica del límite sen(x)/x = 1 Catálogo de infinitésimos equivalentes para x 0 4 Teoría de infinitos — Principio de sustitución y escala de órdenes Concepto de infinito y comparación asintótica Comportamiento asintótico de polinomios y logaritmos Principio de sustitución: validez y restricciones Escala fundamental de órdenes de infinitos Resolución de ejercicios 5 Dominio, continuidad y tipos de discontinuidades Criterios para el cálculo de dominios Simetrías y periodicidad en funciones compuestas Clasificación de discontinuidades Propiedades hiperbólicas y comportamiento asintótico 6 Cálculo de límites y partes principales Estrategia general para resolver indeterminaciones Resolución de límites indeterminados paso a paso Cálculo del orden y de la parte principal para Comparación de la velocidad de convergencia a cero 7 Formulario Funciones elementales e hiperbólicas Catálogo de infinitésimos equivalentes (x 0) Escala de infinitos y límites en el infinito (x ) x 0 Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 1 Clasificación de discontinuidades Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 2 1 Funciones elementales I — Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonométricas AL ACABAR SABRÁS Determinar el dominio, recorrido y continuidad de funciones racionales y polinómicas. Identificar la simetría y definición por tramos de la función valor absoluto. Reconocer los periodos y puntos de discontinuidad de las razones trigonométricas. Aplicar las restricciones de dominio y recorrido en las funciones trigonométricas inversas.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué no es posible definir la función inversa del seno en toda la recta real directamente? El análisis matemático de una variable real parte del estudio de las funciones fundamentales, que sirven como base para construir expresiones más complejas y analizar conceptos clave como límites, continuidad y derivabilidad.

ESQUEMA Estructura del tema: Funciones e Infinitésimos Funciones polinómicas, racionales y valor absoluto Una función polinómica o entera asigna a cada número real una suma finita de potencias enteras no negativas multiplicadas por coeficientes reales: Funciones elementales I Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonometría Funciones elementales II Exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas Teoría asintótica Estudio de órdenes y equivalencias Infinitésimos Órdenes y partes principales Infinitos Sustitución y escala de magnitudes Resolución práctica Continuidad, asíntotas y límites f(x) = P (x) = n a + 0 a x + 1 a x + 2 2 + a x n n Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 3 Su dominio natural es toda la recta real ( ) y resulta continua en cualquier punto de su dominio sin excepción.

Por otro lado, una función racional se define como el cociente de dos expresiones polinómicas: La división entre cero no está definida en los números reales. Por ello, su dominio excluye las raíces del denominador, es decir, . La función es continua en todos los puntos donde está definida (para una clasificación detallada de las discontinuidades que surgen al anularse el denominador, véase «Resolución de ejercicios — Dominio, continuidad y tipos de discontinuidades»). DEFINICIÓN La función valor absoluto transforma cada número real en su magnitud no negativa mediante una estructura a trozos: Posee dominio , recorrido y es continua en todo .

Presenta simetría par respecto al eje vertical, ya que . COMPRUEBA 2 ¿En qué puntos pierde la continuidad una función racional? Funciones trigonométricas directas Las funciones trigonométricas describen fenómenos oscilatorios a través de relaciones periódicas bien definidas: Función seno: . Tiene dominio , recorrido acotado [-1, 1], periodo y es continua en todo . Función coseno: . Comparte con el seno el dominio , recorrido , periodo fundamental y continuidad global en toda la recta real.

Dom(f) = R f(x) = Q (x) m P (x) n Dom(f) = {x R Q (x) = m 0} f(x) = x = { x x si x 0 si x < 0 Dom(f) = R Rec(f) = [0, + ) R x = x f(x) = senx R T = 2π R f(x) = cos x R [ 1, 1] T = 2π Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 4 Gráfica periódica de la función seno con periodo 2π. La función tangente se define mediante el cociente de las razones directas: Dado que no existe cuando el denominador se anula ( ), su dominio excluye los múltiplos impares de : Su recorrido abarca todo y su periodo es T = .

Es continua en todo su dominio, pero en cada punto x = (2k+1) presenta asíntotas verticales con una discontinuidad con salto infinito (véase «Resolución de ejercicios — Dominio, continuidad y tipos de discontinuidades»). COMPRUEBA 3 ¿Por qué el periodo de la tangente es π mientras que el del seno y coseno es 2π? Funciones trigonométricas inversas y restricción de dominio Para que una función admita inversa, cada valor de su recorrido debe poseer una única anti-imagen. Las funciones trigonométricas directas son periódicas y toman el mismo valor infinitas veces.

Por tanto, para obtener funciones inversas bien definidas y unívocas, es imprescindible delimitar su recorrido a un intervalo canónico donde la función directa sea biyectiva. Función inversa Notación Dominio Recorrido (convenio) Continuidad Arco seno Continua en Arco coseno Continua en Arco tangente Continua en La gráfica del arco coseno desciende de manera monótona en su dominio acotado: f(x) = tg x = cos x senx cos x = 0 π/2 Dom(f) = x R x = (2k + 1) , k Z { 2 π } R π 2 π arcsen x [ 1, 1] [ π/2, π/2] [ 1, 1] arccos x [ 1, 1] [0, π] [ 1, 1] arctg x R ( π/2, π/2) R Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 5 Gráfica de la función arco coseno en [-1, 1].

Por su parte, la gráfica del arco tangente tiene asíntotas horizontales en e : Gráfica del arco tangente con asíntotas horizontales. ERROR FRECUENTE Evaluar o con argumentos fuera de [-1, 1]. Puesto que el seno y el coseno nunca producen valores menores que -1 ni mayores que 1, las funciones inversas correspondientes carecen de sentido para valores reales fuera de ese intervalo cerrado. Por el contrario, sí acepta cualquier valor en toda la recta real. COMPRUEBA 4 ¿Cuál es el recorrido de la función arco coseno y por qué difiere del arco seno?

y = π/2 y = π/2 arcsen(x) arccos(x) arctg(x) Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 6 IDEAS CLAVE Las funciones polinómicas están definidas y son continuas en todo . Las funciones racionales son continuas en su dominio, excluyendo los puntos donde el denominador se anula. El valor absoluto es una función continua a trozos en con recorrido . El seno y el coseno tienen periodo y recorrido , mientras que la tangente tiene periodo y discontinuidades periódicas. Las funciones inversas trigonométricas exigen restringir el recorrido para garantizar la univalencia: y operan en , mientras que opera sobre todo . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5.

¿Por qué es obligatorio restringir el dominio de las funciones trigonométricas directas para poder definir sus inversas? 6. ¿Cuál es el dominio y el recorrido canónico de la función arco seno? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 7. ¿Cuál es el dominio de la función tangente f(x) = tg x? 8. ¿Cuál es el recorrido por convenio de la función f(x) = arccos x? 9. ¿Qué tipo de gráfica describe la función valor absoluto f(x) = "x"? 10. ¿Cuál es el dominio de definición de la función f(x) = arcsen x?

R R [0, + ) 2π [ 1, 1] π arcsenx arccos x [ 1, 1] arctg x R La recta real completa R a) Todos los reales excepto (2k+1)π/2 b) Todos los reales excepto múltiplos de π c) El intervalo acotado [-1, 1] d) [-π/2, π/2] a) (-π/2, π/2) b) [0, π] c) [-1, 1] d) Discontinua con salto finito en x = 0 a) Periódica con periodo principal π b) Asintótica vertical en el eje de abscisas c) Continua en R con vértice en el origen d) Toda la recta real R a) [0, π] b) [-1, 1] c) (-π/2, π/2) d) Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 7 2 Funciones elementales II — Exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas y potenciales AL ACABAR SABRÁS Determinar con precisión el dominio y recorrido de funciones exponenciales, logarítmicas y potenciales.

Operar y verificar identidades algebraicas con funciones hiperbólicas y sus correspondientes inversas. Distinguir el campo de definición de una función potencial general respecto de casos particulares enteros. PIÉNSALO ANTES DE LEER 11 ¿Por qué una calculadora da error al evaluar pero calcula sin problemas (-2)³? 1. Función exponencial y función logarítmica La función exponencial adopta la forma general , con base real estrictamente positiva . El valor constante produce la recta horizontal , cuyo dominio abarca y su recorrido se reduce al valor unitario .

Al excluir este caso trivial, el análisis se divide según el valor de la base: Base superior a uno ( ): la función es estrictamente creciente y continua en toda la recta real . Su recorrido comprende el intervalo . Presenta el eje horizontal como asíntota hacia la izquierda y corta al eje de ordenadas en el punto . Cuando la base es el número de Euler, se escribe de manera equivalente . Base comprendida entre cero y uno ( ): la función resulta estrictamente decreciente, con idéntico dominio , recorrido y corte .

( 2)0,5 f(x) = ax a > 0 a = 1 f(x) = 1 R {1} a > 1 R (0, ) (0, 1) e = x exp(x) 0 < a < 1 R (0, ) (0, 1) Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 8 Gráfica de la función exponencial creciente con base estrictamente mayor que uno. La función logarítmica se formula como , requiriendo base y para argumentos positivos . Por definición, invierte la correspondencia de la exponencial: Dominio y recorrido: el dominio queda restringido a , mientras que la imagen o recorrido llena todo . La curva corta al eje de abscisas en . Monotonía: si , la curva es estrictamente creciente en su dominio; si , resulta estrictamente decreciente.

En ambos escenarios mantiene continuidad en todo punto interior a su dominio. Notaciones estándar: el logaritmo en base diez se escribe como , y la base natural se denota mediante . f(x) = log x a a > 0 a = 1 x > 0 Dom = (0, ) Rec = R (1, 0) a > 1 0 < a < 1 log x = 10 log x log x = e ln x Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 9 Gráfica de la función logarítmica estrictamente creciente para base mayor que uno. COMPRUEBA 12 ¿Cuál es el recorrido de la función logarítmica frente al recorrido de la función exponencial de la misma base? 2.

Funciones hiperbólicas directas e inversas Las funciones hiperbólicas se construyen a partir de combinaciones simétricas y antisimétricas de exponenciales naturales: Seno hiperbólico: se define como . Presenta simetría impar, con y , siendo continua en todo su dominio. Coseno hiperbólico: se formula como . Posee carácter par, dominio completo y recorrido restringido al intervalo cerrado inferiormente . Tangente hiperbólica: razón directa . Está definida en y acotada en el intervalo abierto .

sh x = 2 e e x x Dom = R Rec = R ch x = 2 e +e x x R [1, ) th x = = ch x sh x e +e x x e e x x R ( 1, 1) Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 10 Gráfica del coseno hiperbólico con vértice en el punto (0, 1).

IDENTIDAD HIPERBÓLICA FUNDAMENTAL A diferencia de las razones trigonométricas circulares (véase «Funciones elementales I — Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonométricas»), la diferencia de cuadrados produce la unidad: Esta igualdad se verifica de modo inmediato desarrollando ambas expresiones: Las inversas de estas relaciones se denominan funciones argumento y admiten fórmulas logarítmicas explícitas: Función inversa Fórmula logarítmica Dominio Recorrido Argumento seno hiperbólico Argumento coseno hiperbólico Argumento tangente hiperbólica COMPRUEBA 13 ¿Por qué el dominio de arg ch(x) no incluye valores menores que 1? 3.

Función potencial general La función potencial general eleva una variable real a un exponente constante cualquiera . Para que la potencia posea sentido analítico general con cualquier exponente real, se define obligatoriamente como para todo . La presencia del logaritmo neperiano restringe de entrada la base a los valores estrictamente positivos.

ch (x) 2 sh (x) = 2 1 ch (x) 2 sh (x) = 2 4 (e + e ) x x 2 = 4 (e e ) x x 2 = 4 e + e + 2 (e + e 2) 2x 2x 2x 2x = 4 4 1 arg sh x = ln (x + ) x + 1 2 R R arg ch x = ln (x + ) x 1 2 [1, ) [0, ) arg th x = ln( ) 2 1 1 x 1+x ( 1, 1) R α R x = α eα ln x x > 0 Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 11 ESQUEMA Clasificación del dominio de la función potencial ERROR FRECUENTE El error más reiterado en exámenes consiste en asumir que siempre admite sustituir valores negativos de . Como la definición analítica general se apoya en , la función carece de sentido para salvo que el exponente admita extensiones algebraicas concretas.

Un exponente irracional, por ejemplo, jamás está definido analíticamente para bases negativas en el cuerpo real. El comportamiento funcional de en varía según el signo y la magnitud del exponente: Exponente mayor que uno ( ): continua y estrictamente creciente en , con recorrido y corte con el punto unitario . Exponente intermedio ( ): continua y estrictamente creciente en , pasando por pero con curvatura cóncava. Exponente negativo ( ): estrictamente decreciente en , manteniendo recorrido . Los valores enteros marcan casos frontera donde el dominio se prolonga algebraicamente: COMPRUEBA 14 ¿Por qué el dominio formal de x no incluye al cero?

Exponente general real Definición analítica e^(α ln x) Base positiva Dominio fijado en (0, ) Exponente entero Extensiones algebraicas Enteros positivos Dominio en todo R Enteros negativos o cero Dominio en R sin el cero f(x) = xα x eα ln x x 0 xα x > 0 α > 1 (0, ) (0, ) (1, 1) 0 < α < 1 (0, ) (1, 1) α < 0 (0, ) (0, ) Identidad lineal ( ): la función es . Su dominio se extiende a toda la recta real , con recorrido , siendo continua y estrictamente creciente en todo su trayecto. 1 α = 1 f(x) = x Dom = R Rec = R Función constante ( ): la función toma la forma para todo . El dominio resulta , continuo en cada intervalo de su dominio, con recorrido único .

2 α = 0 f(x) = x = 0 1 x = 0 R {0} {1} Exponentes en los enteros negativos ( con ): admiten cálculo fuera de los positivos sobre cualquier base distinta de cero, obteniendo un dominio extendido . 3 α Z α < 0 R {0} Exponentes naturales ( ): coinciden con funciones polinómicas (véase «Funciones elementales I — Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonométricas»), por lo que su dominio se extiende con total continuidad sobre todo . 4 α N R Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 12 IDEAS CLAVE La función exponencial tiene recorrido y es estrictamente creciente si o estrictamente decreciente si .

La función logarítmica es la inversa de la exponencial, con dominio estricto y recorrido . Las funciones hiperbólicas verifican la relación fundamental . Las inversas hiperbólicas admiten representaciones en logaritmos naturales con dominios específicos, destacando para y para . La función potencial general se formaliza como , lo que restringe su dominio natural a salvo extensiones algebraicas para exponentes enteros. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 15. ¿Cuál es la expresión logarítmica y el dominio de la función ? 16. ¿Cómo se define analíticamente la potencia general para un exponente real arbitrario? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 17.

¿Cuál es la relación algebraica fundamental de la trigonometría hiperbólica? 18. ¿Cuál es el dominio de la función inversa arg ch(x)? 19. ¿Por qué la función potencial general x^α requiere x > 0? 20. ¿Qué recorrido posee la función tangente hiperbólica th(x)?

3 ax (0, \field ) a > 1 0 < a < 1 (0, \field ) \fieldR ch (x) 2 sh (x) = 2 1 [1, \field ) arg ch x ( 1, 1) arg th x x = \fieldα e\fieldαln x x > 0 arg th x x\fieldα sh² x - ch² x = 1 a) ch x + sh x = 1 b) ch² x - sh² x = 1 c) ch² x + sh² x = 1 d) (- , ) a) (-1, 1) b) [1, ) c) (0, ) d) Porque los polinomios no admiten negativos a) Porque toda potencia real diverge en cero b) Por definirse formalmente como c) eαlnx Para evitar asíntotas oblicuas en el infinito d) (- , ) a) (-1, 1) b) [0, ) c) [1, ) d) Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 13 Teoría de infinitésimos — Órdenes y equivalencias asintóticas AL ACABAR SABRÁS Clasificar la relación de orden entre dos infinitésimos calculando su cociente límite.

Determinar el orden y la parte principal K(x - a)^r de un infinitésimo. Aplicar el catálogo de equivalencias asintóticas para x tendiendo a 0 en la simplificación de límites. PIÉNSALO ANTES DE LEER 21 ¿Por qué cuando un ángulo x en radianes es muy próximo a 0 podemos intercambiar sen(x) por x pero no podemos hacer lo mismo con 1 - cos(x)? El análisis de límites indeterminados requiere comparar con qué rapidez se anulan distintas magnitudes. En esta sección se formaliza el concepto de infinitésimo, su jerarquía mediante órdenes y la técnica de sustitución asintótica.

ESQUEMA Estructura del estudio de infinitésimos e infinitos Definición formal y comparación de infinitésimos Una función es un infinitésimo para si su límite en dicho punto es nulo: Esta noción se extiende de forma idéntica a valores en el infinito, verificando o .

Al contrastar dos infinitésimos y cuando , se analiza el comportamiento de su cociente: Infinitésimos Funciones con límite 0 Clasificación de órdenes Superior, inferior, mismo orden Parte principal K(x - a)^r Equivalencias notables Catálogo trigonométrico y analítico Infinitos Funciones con límite infinito f(x) x a f(x) = x a lim 0 lim f(x) = x 0 lim f(x) = x 0 f(x) g(x) x a Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 14 Valor del límite Relación entre infinitésimos (finito) y son del mismo orden. 0 es de orden superior a (tiende a cero más rápido). es de orden inferior a (tiende a cero más lento). No existe y son incomparables.

Cuando el cociente resulta ser la unidad, es decir, , se dice que y son infinitésimos asintóticamente equivalentes, lo cual se denota como cuando . DEFINICIÓN Si existen dos constantes reales y tales que: se define a como el orden del infinitésimo y a la expresión K(x - a)^r como su parte principal. En consecuencia, todo infinitésimo resulta equivalente a su parte principal en las proximidades de . COMPRUEBA 22 Si el cociente f(x)/g(x) tiende a 0 cuando x tiende a a, ¿cuál de las dos funciones se aproxima más velozmente al valor cero?

Fundamentación geométrica del límite sen(x)/x = 1 La deducción de las equivalencias trigonométricas primarias parte de la acotación geométrica sobre la circunferencia goniométrica de radio unidad, descrita en Esquema de sectores y segmentos circulares demostrando sen(x) < x < tan(x). lim x a g(x) f(x) l = 0 f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) lim = x a g(x) f(x) 1 f(x) g(x) f(x) g(x) x a r > 0 K = 0 = x a lim K(x a)r f(x) 1 r a Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 15 .

Para un ángulo positivo suficientemente pequeño medido en radianes, las longitudes del segmento seno, el arco circular y el segmento tangente satisfacen la desigualdad: Al dividir cada miembro entre , se obtiene: Como , el teorema del sándwich impone que: De forma similar, dividiendo la desigualdad original por resulta , lo que demuestra que cuando . El razonamiento es totalmente análogo para ángulos negativos con . COMPRUEBA 23 ¿Qué principio asegura que el límite de x/sen(x) valga exactamente 1 cuando x se acerca a 0?

Catálogo de infinitésimos equivalentes para x 0 A partir del límite anterior y de las propiedades de las funciones elementales (véase «Funciones elementales I — Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonométricas» y «Funciones elementales II — Exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas y potenciales»), se deduce un repertorio directo de equivalencias asintóticas para : Expresión funcional Infinitésimo equivalente ( ) Esquema deductivo Sustitución , aplicando Identidad , Identidad , Cambio , Cambio x > 0 sen(x) < x < tg(x) sen(x) > 0 1 < < sen(x) x cos(x) 1 lim = x 0 cos(x) 1 1 = x 0 lim sen(x) x 1 sen(x) x tg(x) > 0 cos(x) < < tg(x) x 1 tg(x) x x 0 x < 0 x 0 x 0 ln(1 + x) x lim ln(1 + x 0 x) = 1/x ln lim 1 + = [ t ( t 1 ) t ] ln(e) = 1 a x 1 x ln(a) y = a x 1 0 y ln(1 + y) = ln(a ) x 1 cos(x) 2 x2 1 cos(x) = 2 sen 2 (2 x ) 2 (2 x ) 2 sh(x) th(x) x e (e 2 1 x 2x 1) 2 1 1 2x ln(e) = x ch(x) 1 2 x2 2 sh 2 (2 x ) 2 (2 x ) 2 arcsen(x) arctg(x) x t = arcsen(x) x = sen(t) t arg sh(x) arg th(x) x t = arg sh(x) x = sh(t) t Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 16 Expresión funcional Infinitésimo equivalente ( ) Esquema deductivo Cambio a logaritmos: (con ) Asimismo, desplazando el centro de estudio a , el cambio establece la equivalencia directa .

ERROR FRECUENTE Reemplazar infinitésimos por sus términos equivalentes dentro de sumas o restas es una causa constante de errores en los exámenes. La sustitución asintótica directa solo es válida en factores multiplicativos o divisores de un producto o cociente global. En adiciones, los órdenes superiores o términos cancelados conducen a indeterminaciones falsas o resultados erróneos. COMPRUEBA 24 ¿Cuál es la parte principal del polinomio P(x) = 5x^3 - 2x^4 + x^6 cuando x tiende a 0? IDEAS CLAVE Un infinitésimo es una función cuyo límite es cero en un punto finito o en el infinito.

El cociente de dos infinitésimos determina su orden relativo: finito no nulo (mismo orden), cero (superior) o infinito (inferior). La parte principal adopta la estructura canónica con y . Las relaciones trigonométricas básicas parten de la desigualdad geométrica para . En un polinomio evaluado cuando , la equivalencia asintótica la marca el término no nulo de menor grado: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 25. ¿Por qué la función 1 - cos(x) tiene orden 2 respecto al infinitésimo patrón x cuando x tiende a 0? 26. ¿Qué equivalencia directa posee la función ln(x) cuando x tiende a 1?

x 0 (1 + x) α 1 αx ln(1 + t) = ln(1 + x) = α α ln(1 + x) αx P (x) = n a x + r r + a x n n a x r r a = r 0 lim = x 0 a x r r P (x) n 1 + lim = x 0 a r a x+… r+1 1 x 1 y = x 1 0 ln(x) x 1 K(x a)r r > 0 K = 0 sen(x) < x < tg(x) x > 0 x 0 P (x) n a x r r Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 17 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 27. Si el límite del cociente f(x)/g(x) tiende a cero cuando x tiende a a, entonces: 28. Cuando x tiende a 0, ¿cuál es la parte principal de 1 - cos(x)? 29. Para un polinomio en x tendiendo a 0, ¿qué término determina su infinitésimo equivalente? 30.

La equivalencia sen(x) ~ x se deduce geométricamente mediante: 4 Teoría de infinitos — Principio de sustitución y escala de órdenes AL ACABAR SABRÁS Identificar y clasificar infinitos según su orden relativo y obtener su parte principal. Aplicar el principio de sustitución en productos y cocientes evitando su uso erróneo en sumas algebraicas. Resolver límites en el infinito mediante la escala canónica de infinitos (logarítmico, potencial, exponencial y potencial-exponencial). PIÉNSALO ANTES DE LEER 31 ¿Por qué un polinomio con diez términos se comporta en el infinito como si solo existiese el término de mayor grado?

Concepto de infinito y comparación asintótica Una función constituye un infinito en un punto si su límite diverge: f y g son equivalentes a) f es de orden superior a g b) f es de orden inferior a g c) f y g son incomparables d) x² a) x b) x²/2 c) -x²/2 d) El coeficiente principal a) El de mayor grado b) El término independiente no nulo c) El de menor exponente no nulo d) La fórmula de Taylor a) El teorema del sándwich b) El binomio de Newton c) La regla de L'Hôpital d) f(x) x = a f(x) = x a lim o f(x) = x a lim Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 18 Esta noción se extiende de manera idéntica a los límites laterales cuando la divergencia ocurre únicamente al aproximarse por la derecha ( ) o por la izquierda ( ).

Asimismo, es un infinito en el infinito cuando o . Para comparar la rapidez con la que crecen dos infinitos y cuando (o ), se analiza el límite de su cociente: Valor del límite Relación de órdenes entre y (finito) Poseen el mismo orden de magnitud. es un infinito de orden inferior a . es un infinito de orden superior a . No existe Los infinitos y no son comparables. Cuando el límite del cociente vale exactamente 1 ( ), ambas funciones son infinitos asintóticamente equivalentes, lo cual se denota formalmente como . DEFINICIÓN Si existen constantes reales y tales que: se afirma que es un infinito de orden r, y la expresión recibe el nombre de parte principal del infinito.

COMPRUEBA 32 Si el límite del cociente f(x)/g(x) cuando x tiende a infinito es igual a cero, ¿cuál de las dos funciones crece a mayor velocidad? Comportamiento asintótico de polinomios y logaritmos Al analizar un polinomio (con ) en el infinito ( ), los términos de menor grado resultan despreciables frente al término dominante.

Por tanto, se cumple: La demostración directa procede factorizando la máxima potencia: Como consecuencia inmediata, el límite del cociente de dos polinomios y cuando queda completamente determinado por sus monomios principales: x a+ x a f(x) lim f(x) = x ± lim f(x) = x ± f(x) g(x) x a x ± L = x a lim g(x) f(x) L f(x) g(x) L = 0 L = 0 f(x) g(x) L = f(x) g(x) f(x) g(x) L = 1 f(x) g(x) r > 0 K = x a lim K(x a)r 1 f(x) 1 f(x) K(x a)r 1 P (x) = r a + 0 a x + 1 + a x r r a = r 0 x ± P (x) r a x cuando x r r ± = x lim a x r r P (x) r = x lim a r + + + a xr a 0 xr 1 a 1 r = a r a r 1 P (x) r Q (x) = s b + 0 b x + 1 + b x s s x Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 19 De modo similar, el logaritmo de un polinomio verifica una notable simplificación asintótica gracias a las propiedades operacionales: COMPRUEBA 33 ¿A qué expresión elemental equivale el infinito logarítmico log(5x³ + 2x - 1) cuando x tiende a infinito?

Principio de sustitución: validez y restricciones El valor de un límite no experimenta alteraciones si se reemplaza un factor o divisor por otro asintóticamente equivalente (esta equivalencia aplica tanto a infinitos como a la teoría desarrollada en «Teoría de infinitésimos — Órdenes y equivalencias asintóticas»). ERROR FRECUENTE El principio de sustitución no es válido en sumas ni en restas. Reemplazar infinitos por sus equivalentes aditivos suele cancelar los términos dominantes y ocultar el verdadero orden del límite, conduciendo a resultados erróneos. COMPRUEBA 34 ¿Por qué es incorrecto sustituir una función por su parte principal dentro de una resta de expresiones infinitas?

Escala fundamental de órdenes de infinitos Cuando la variable independiente diverge hacia el infinito ( ), las funciones elementales presentan ritmos de crecimiento jerarquizados.

Considerando constantes , , y , se define la siguiente jerarquía canónica: = x lim Q (x) s P (x) r = x lim b x s s a x r r a /b r s 0 ± si r = s si r < s si r > s log [P (x)] a r log (a x ) = a r r log (a ) + a r log (x ) a r log (x ) = a r r log x a Sustitución en cocientes: Si , entonces: 1 f(x) g(x) = x a lim h(x) f(x) = x a lim [ g(x) f(x) h(x) g(x) ] x a lim g(x) f(x) = x a lim h(x) g(x) 1 = x a lim h(x) g(x) x a lim h(x) g(x) Sustitución en productos: Bajo la misma condición : 2 f(x) g(x) [f(x) x a lim h(x)] = g(x) h(x) = x a lim [ g(x) f(x) ] x a lim g(x) f(x) [g(x) x a lim h(x)] = [g(x) x a lim h(x)] x a > 1 b > 0 c > 1 d > 0 Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 20 PROCESO Jerarquía de infinitos para x tendiendo a infinito 1 Logarít mico log_a(x) con a > 1 2 Potencial x^b con b > 0 3 Exponen cial c^x con c > 1 4 Potencial- Exponencial x^(dx) con d > 0 La escala de órdenes establece formalmente: Esta gradación se traduce en los límites de cocientes cruzados: Para constatar numéricamente estas diferencias de velocidad asintótica, consideremos los parámetros particulares : 2 1 4 4 16 4 2 16 16 65.536 6 2,58 36 64 10 3,32 100 1.024 La evolución gráfica correspondiente muestra cómo las curvas de mayor jerarquía sobrepasan de forma aplastante a los órdenes inferiores: orden log x < a orden x < b orden c < x orden xdx = x lim xb log x a 0, = x lim cx xb 0, = x lim xdx cx 0, = x lim xb xdx a = b = c = d = 2 x log x 2 x2 2x x2x 2,18 109 1020 Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 21 Gráfica comparativa del crecimiento de infinitos logarítmicos, potenciales, exponenciales y potencial-exponenciales.

COMPRUEBA 35 ¿Cuál es el valor del límite cuando x tiende a infinito de (3^x) / (x^100)? IDEAS CLAVE Una función diverge como infinito en un punto o en el infinito si su límite resulta ser infinito con signo positivo o negativo. El cociente de dos infinitos determina su orden relativo: da 0 si el numerador crece más lento, infinito si crece más rápido, y una constante no nula si tienen el mismo orden. Para un polinomio en el infinito se cumple la equivalencia , y para su logaritmo se verifica . El principio de sustitución asintótica es estrictamente válido en productos y cocientes, pero queda prohibido en sumas y restas.

La jerarquía canónica de infinitos sigue el orden: logaritmo menor que potencial, menor que exponencial, menor que potencial-exponencial. P (x) r a x r r log [P (x)] a r r log x a Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 22 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 36. ¿En qué circunstancias se afirma que dos infinitos f(x) y g(x) son asintóticamente equivalentes? 37. ¿Por qué no se debe utilizar la sustitución de infinitos equivalentes en una operación de resta? 38. Conforme a la escala de órdenes, ¿a qué valor converge el cociente entre y cuando x tiende a infinito? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 39.

Si el límite del cociente f(x)/g(x) tiende a infinito, ¿qué relación guardan sus órdenes? 40. ¿Cuál es la función equivalente de log(4x - 3x) cuando x tiende a infinito? 41. ¿Bajo qué operaciones algebraicas es lícito aplicar el principio de sustitución asintótica? 42. ¿Qué función posee el orden de crecimiento más rápido cuando x tiende a infinito?

x10 2x Poseen el mismo orden a) f(x) es de orden superior b) No resultan comparables c) f(x) es de orden inferior d) 5·log(x) a) 5x b) 4x c) log(4)·log(x) d) Únicamente en potencias de exponente par a) Exclusivamente en sumas y restas b) Solo en productos y cocientes c) En cualquier operación algebraica d) a) 10x log (x¹ ) b) x² c) d) x3x Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 23 5 Dominio, continuidad y tipos de discontinuidades AL ACABAR SABRÁS Determinar el dominio, simetrías y periodicidad en funciones compuestas trigonométricas e inversas. Clasificar con rigor las discontinuidades en funciones definidas a trozos, fraccionarias y exponenciales.

Calcular las asíntotas horizontales en funciones compuestas con tangentes hiperbólicas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 43 ¿Por qué la función f(x) = sen(1/x) en x = 0 no presenta una discontinuidad de salto ni evitable? El análisis de una función real comienza determinando los puntos donde tiene sentido operar matemáticamente. Conocer el dominio orienta la búsqueda de simetrías, la periodicidad y la detección sistemática de discontinuidades mediante límites laterales.

Resolución de ejercicios 5 Dominio, continuidad y tipos de discontinuidades 6 Cálculo de límites y partes principales Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 24 ESQUEMA Mapa de Funciones Fundamentales y Continuidad Criterios para el cálculo de dominios El dominio de definición de una función reúne los valores reales para los que todas sus operaciones internas están bien definidas. Para calcularlo se aplican restricciones fundamentales: Los denominadores no pueden anularse: las funciones racionales exigen denominador distinto de cero (véase «Funciones elementales I — Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonométricas»).

Los argumentos de raíces de índice par deben ser no negativos: . Los argumentos de funciones logarítmicas deben ser estrictamente positivos: (véase «Funciones elementales II — Exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas y potenciales»). Para funciones trigonométricas inversas como o , el argumento debe cumplir (véase «Funciones elementales I — Polinómicas, racionales, valor absoluto y trigonométricas»). EJEMPLO Para hallar el dominio de , exigimos que el argumento esté acotado entre -1 y 1: Por tanto, su dominio es el intervalo cerrado .

Dominio de definición Restricciones operativas reales Denominadores y raíces División por cero y orden par Inversas y logaritmos Argumentos positivos y acotados Propiedades globales Simetrías y periodicidad Análisis de continuidad Comportamiento en puntos críticos Discontinuidad evitable Límites laterales iguales y finitos Discontinuidad de salto Salto finito o infinito Segunda especie Límite lateral inexistente 2n g(x) g(x) 0 ln(g(x)) g(x) > 0 arcsen(g(x)) arccos(g(x)) 1 g(x) 1 f(x) = arcsen(3x + 5) 1 3x + 5 1 6 3x 4 2 x 3 4 [ 2, 4/3] Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 25 COMPRUEBA 44 ¿Cuál es el dominio de la función f(x) = 1 / arccos(x)?

Simetrías y periodicidad en funciones compuestas Una función presenta simetría par si cumple , lo que implica reflexión respecto al eje vertical de ordenadas. En cambio, presenta simetría impar si satisface , mostrando simetría central respecto al origen de coordenadas. Una función es periódica de periodo si cumple para todo punto del dominio. Para funciones sinusoidales compuestas como o con , el periodo fundamental se comprime según la expresión T = . Para la tangente compuesta , el periodo fundamental resulta T = .

Función Dominio Simetría Periodo (T) Impar Par No tiene Par No periódica Respecto a No periódica COMPRUEBA 45 ¿Por qué la función f(x) = "x - 2" no es par a pesar de contener un valor absoluto? Clasificación de discontinuidades Una función es continua en un punto si existe el límite , la función está definida en y ambos valores coinciden: . Si falla alguna de estas condiciones, se produce una discontinuidad clasificada mediante los límites laterales: Discontinuidad evitable: los límites laterales existen y son finitos e iguales ( ), pero la función no está definida en o toma un valor distinto ( ).

Discontinuidad de salto finito: ambos límites laterales existen y son números reales, pero difieren entre sí: . El salto mide . Discontinuidad de salto infinito (o asintótica): al menos uno de los límites laterales tiende a o . Discontinuidad de segunda especie (o esencial): al menos uno de los dos límites laterales no existe en absoluto (por ejemplo, debido a oscilaciones infinitas).

f( x) = f(x) f( x) = f(x) T > 0 f(x + T) = f(x) y = sen(ax) y = cos(ax) a > 0 a 2π y = tg(ax) a π y = sen(ax), a > 0 R 2π/a y = cos(3x + π) R 2π/3 y = tg(1 + 2x) x = π 1 , k 2 1 ( 2 2k+1 ) Z π/2 y = x 2 R y = x 2 R x = 2 f x 0 lim f(x) x x 0 x 0 lim f(x) = x x 0 f(x ) 0 lim f(x) = x x 0 lim f(x) = x x 0 + L x 0 f(x ) = 0 L lim f(x) = x x 0 lim f(x) x x 0 + L + L + Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 26 ERROR FRECUENTE Calcular un límite con denominador nulo sin evaluar el signo lateral conduce a conclusiones erróneas. Por ejemplo, en o en cocientes con potencias impares, el signo del cero determina si la exponencial o la fracción diverge a o decae a 0.

Hay que evaluar siempre por separado y . La siguiente tabla sintetiza el análisis de discontinuidades para las funciones problemáticas del boletín: Función Puntos críticos Comportamiento lateral Tipo de discontinuidad , Salto finito (salto 1) , , pero no existe Evitable , El denominador se anula linealmente Salto infinito y Divergencia asintótica a Salto infinito , oscila indefinidamente entre Segunda especie y En : , . En : diverge a En : salto finito ( ). En : salto infinito COMPRUEBA 46 ¿Por qué f(x) = { [1/(x-1)]}{e^{1/(x-1)} + 1} presenta discontinuidad de segunda especie en x = 1?

Propiedades hiperbólicas y comportamiento asintótico Las funciones hiperbólicas se fundamentan en combinaciones de exponenciales (véase «Funciones elementales II — Exponenciales, logarítmicas, hiperbólicas y potenciales»). La identidad algebraica canónica establece que para todo valor real de . Como consecuencia directa, para todo , por lo que nunca se anula. La función tangente hiperbólica se define como .

Al evaluar sus límites en los extremos del infinito obtenemos sus asíntotas horizontales: lim 2 x 0 1/x + x x 0 + x x 0 f(x) = 2x x x x 2 x = 0 lim f(x) = x 0+ 1/2 lim f(x) = x 0 3/2 f(x) = { sen(πx) ln(x) 0 < x < 1 1 < x < 2 x = 1 lim = x 1 0 lim = x 1+ 0 f(1) f(x) = 1+2 sen x 1 x = + 6 7π 2kπ x = + 6 11π 2kπ f(x) = tg x + x 1 1 x = 1 x = π 2 2k+1 ± f(x) = e +1 1/(x 1) sen[1/(x 1)] f(1) = 0 x = 1 lim x 1 [ 1, 1] f(x) = 2 e1/x 1 x = 0 x = ln 2 1 x = 0 L = + 0 L = 1/2 x = 1/ ln 2 ± x = 0 1/2 x = 1/ ln 2 f(x) = e +1 1/(x 1) sen[1/(x 1)] sen ch (x) 2 sh (x) = 2 1 x ch(x) 1 x R th(x) = = ch(x) sh(x) e +e x x e e x x th(x) = x + lim 1, th(x) = x lim 1 Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 27 Para analizar transformaciones asintóticas de la forma , aplicamos linealmente estos límites: Función Asíntota horizontal en Asíntota horizontal en IDEAS CLAVE El dominio reúne los valores reales que satisfacen simultáneamente las restricciones de denominadores, radicandos de índice par y argumentos de logaritmos o funciones trigonométricas inversas.

La continuidad en un punto exige la existencia del límite doble y su total coincidencia con el valor numérico de la función en dicho punto. Una discontinuidad es evitable cuando los límites laterales existen y coinciden; es de salto finito si difieren; de salto infinito si divergen; y de segunda especie si alguno no existe. La identidad fundamental hiperbólica garantiza que en toda la recta real. Las funciones basadas en presentan asíntotas horizontales en hacia y en hacia . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 47. ¿En qué se diferencia una discontinuidad de salto finito de una discontinuidad evitable? 48. ¿Cuáles son las asíntotas horizontales de la función f(x) = 3 + (x)?

f(x) = k th(x x ) + 0 C Identificar la dirección del límite: Evaluar el comportamiento del argumento cuando y cuando . 1 x + x Aplicar los valores asintóticos base: Sustituir la tangente hiperbólica por 1 si su argumento tiende a , o por -1 si tiende a . 2 + Determinar las rectas asíntotas: Multiplicar por la amplitud y sumar el desplazamiento vertical .

3 k C x + x f(x) = th(x 2) y = 1 y = 1 f(x) = 3 + th(x) y = 3 + 1 = 4 y = 3 1 = 2 f(x) = th(x + 1) y = 1 y = 1 f(x) = 2 th(x 1) y = 2 y = 2 ch (x) 2 sh (x) = 2 1 ch(x) 1 th(x) y = 1 + y = 1 th Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 28 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS 6 Cálculo de límites y partes principales AL ACABAR SABRÁS Resolver límites indeterminados mediante la sustitución de infinitésimos equivalentes en productos y cocientes. Calcular el orden y la parte principal de funciones infinitesimales en las proximidades del origen. Comparar la rapidez de convergencia a cero de distintos infinitésimos a partir de su orden asintótico.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 49 ¿Por qué un infinitésimo con potencia más alta se aproxima al cero más velozmente que uno con potencia más baja? Estrategia general para resolver indeterminaciones Al calcular límites funcionales surgen con frecuencia expresiones indeterminadas. Para resolverlas sin recurrir sistemáticamente a la regla de L'Hôpital, el método más ágil consiste en aplicar el principio de sustitución mediante infinitésimos equivalentes (véase «Teoría de infinitésimos — Órdenes y equivalencias asintóticas») o comparar las potencias dominantes.

PROCESO Resolución sistemática de indeterminaciones en límites 1 Evaluar el límite Sustituir el valor de tendencia para identi ficar posibles indeterminaciones 2 Tipo de in determinación Distinguir entre 0/0, infinito/infinito o 1 elevado a infinito 3 Principio de sustitución Reemplazar factores completos por infini tésimos o infinitos equivalentes 4 Simplifica ción algebraica Cancelar factores co munes y evaluar el re sultado numérico final Indeterminación Técnica principal Equivalencia o fórmula base Sustitución por infinitésimos equivalentes , , con Jerarquía y desprecio de términos acotados Escala de infinitos; funciones acotadas no aportan frente a infinitos Transformación a la base del número mediante 0 0 sen(u) u ln(1 + u) u a u 1 uln(a) x 1 e l m(1 + ı ˊ ) = v 1 v e el mg(x)[f(x) 1] ı ˊ Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 29 ERROR FRECUENTE Sustituir un término por su infinitésimo equivalente dentro de una suma o resta conduce habitualmente a resultados falsos.

La sustitución asintótica solo es válida en factores de productos y cocientes. En adiciones debe extraerse factor común o recurrir a manipulaciones algebraicas previas. Resolución de límites indeterminados paso a paso Analicemos los distintos casos prácticos presentes en los ejercicios fundamentales de cálculo de límites. Límites trigonométricos y exponenciales con cocientes : Para con , sustituimos directamente el numerador y el denominador por sus fórmulas equivalentes: y . Al simplificar , obtenemos de forma inmediata . En , sabemos que cuando , , y .

Sustituyendo los factores equivalentes: 1 0 0 l m ı ˊ x 0 b 1 x a 1 x a, b > 0 a x 1 xln(a) b x 1 xln(b) x ln(b) ln(a) l m ı ˊ x 0 sen (2x)cos (x) 3 2 5x arcsen(x) 2 x 0 arcsen(x) x sen(2x) 2x cos (x) 2 1 l m = ı ˊ x 0 (2x) × 1 3 5x (x) 2 l m = ı ˊ x 0 8x3 5x3 8 5 Límites en el infinito con argumentos infinitesimales: En el límite , cuando la cantidad . Por tanto, aplicamos y . Asimismo, en el denominador el polinomio verifica : 2 l m ı ˊ x x+5 3x sen ( )ln(1+ ) 4 2 x 1 x 1 x u = x 1 0 sen( ) x 1 x 1 ln(1 + ) x 1 x 1 x + 5 x l m = ı ˊ x x 3x ( ) ( ) 4 x 1 2 x 1 l m = ı ˊ x x 3x 3 Límites exponenciales indeterminados : Para , identificamos la base tendiendo a 1 y el exponente a .

Aplicamos la expresión estándar : Multiplicando por el exponente , el límite en el exponente resulta , dando como valor final . De manera análoga, para , como el argumento tiende a 0, . El exponente de es , obteniendo . 3 1 l m ( ) ı ˊ x ax+c ax+b x el m x[ 1] ı ˊ x ax+c ax+b ax + c ax + b 1 = ax + c b c cuando x ax b c x a b c e(b c)/a l m [1 + ı ˊ x b tg( )] x a x tg( ) x a x a e l m x × ı ˊ x b( ) = x a ab eab Límite con funciones acotadas o jerarquía exponencial: En , la función está acotada en frente a que tiende a infinito. Dividiendo entre , los términos convergen a 0, por lo que el límite vale 1.

Para , si la exponencial supera en la escala de infinitos a cualquier potencia polinómica, resultando . Si , el cociente tiende a 0. 4 l m ı ˊ x x+sen(x) x sen(x) sen(x) [ 1, 1] x x x sen(x) lim x x a 1 x a > 1 0 < a 1 Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 30 COMPRUEBA 50 ¿Por qué el límite de (1/x)^(1/x) cuando x tiende a infinito no es una indeterminación del tipo 0^0? Cálculo del orden y de la parte principal para La parte principal de un infinitésimo respecto al infinitésimo de referencia viene dada por , donde es el orden del infinitésimo y satisface que el cociente tiende a una constante finita no nula (véase «Teoría de infinitésimos — Órdenes y equivalencias asintóticas»).

EJEMPLO: ORDEN Y PARTE PRINCIPAL DE TG X - SEN X Queremos hallar el orden y la parte principal de para . Extraemos factor común: Como , aplicamos las equivalencias canónicas en los factores: y . Al multiplicar ambas partes equivalentes: Por consiguiente, el infinitésimo es de orden 3 y su parte principal es . Si consideramos la suma de infinitésimos , para analizamos el comportamiento de cada sumando: (orden 2) (orden 6) (orden 1) (orden 1) Los términos de menor orden lineal son los que determinan el comportamiento dominante en el origen: . Los términos de orden superior ( y ) son despreciables frente a . Por tanto, el infinitésimo tiene orden 1 y su parte principal es .

Comparación de la velocidad de convergencia a cero Dados dos infinitésimos para , decimos que uno tiende más rápidamente a cero que otro si su orden de magnitud es estrictamente mayor.

Matemáticamente, si , entonces: x 0 f(x) x cxp p xp f(x) c y = tg(x) sen(x) x 0 tg(x) sen(x) = tg(x)(1 cos(x)) x 0 tg(x) x 1 cos(x) 2 x2 y x × = 2 x2 x 2 1 3 P P = x 2 1 3 y = tg (x) + 2 3sen (2x ) 3 2 5ln(1 + 2x) + x x 0 tg (x) 2 x2 3sen (2x ) 3 2 3(2x ) = 2 3 24x6 5ln(1 + 2x) 5(2x) = 10x +x 10x + x = 9x x2 x6 x P P = 9x x 0 orden(g) > orden(f) l m = ı ˊ x 0 f(x) g(x) 0 Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 31 Función Aproximación en Orden de infinitésimo Comportamiento asintótico Orden 1 Convergencia más lenta a cero Orden 2 Convergencia más rápida a cero Dado que presenta orden 2 y posee orden 1, la función se anula más deprisa conforme nos aproximamos al origen.

COMPRUEBA 51 Si dos funciones f(x) y g(x) tienen partes principales idénticas para x -> 0, ¿qué valor tiene el límite de f(x)/g(x)? IDEAS CLAVE La sustitución asintótica mediante infinitésimos equivalentes solo está permitida en factores que multiplican o dividen a toda la expresión. Para indeterminaciones del tipo , se emplea la transformación exponencial . En una suma de infinitésimos para , el término con menor exponente impone el orden y determina la parte principal. Un infinitésimo de mayor orden se aproxima a cero con mayor rapidez que uno de orden inferior. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 52. ¿Por qué el infinitésimo tiene orden 2 cuando ? 53.

¿Cómo se calcula la parte principal de una suma de términos infinitesimales cuando ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 54. ¿Cuál es el dominio de f(x) = arcsen(3x + 5)? 55. ¿Qué periodo fundamental tiene la función y = cos(3x + π)? x 0 f(x) = x+2 3x f(x) = 2 3x x 2 3 g(x) = 1 cos (x) 3 (1 cos(x))(1 + cos(x) + cos (x)) 2 x 2 3 2 g(x) f(x) g(x) 1 elim g(x)[f(x) 1] x 0 g(x) = 1 cos (x) 3 x 0 x 0 R - {-5/3} a) (-2, -4/3) b) [-1, 1] c) [-2, -4/3] d) π / 3 a) 2π / 3 b) 6π c) 2π d) Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 32 56. ¿Qué tipo de discontinuidad tiene en x = 0 la función ("x" - x² - x)/(2x)? 57.

¿Cuáles son las asíntotas horizontales de f(x) = 2 th(x - 1)? 58. ¿Cuál es la parte principal de tg(x) - sen(x) cuando x tiende a 0? 59. ¿Qué función converge a cero más rápidamente en x -> 0? 60. ¿Cuál es el resultado de calcular el límite de ( - 1)/( - 1) para x -> 0? 61. ¿En qué operación algebraica es válido sustituir un infinitésimo por su equivalente?

7 Formulario Funciones elementales e hiperbólicas Función Definición / Fórmula Dominio y recorrido Propiedades clave Polinómica Continua en todo Racional Continua en todo su dominio Valor absoluto Continua en , par Seno / Coseno Periodo Tangente Periodo Arco seno / Arco coseno ; Salto finito a) Evitable b) Segunda especie c) Salto infinito d) y = 2 y y = 0 a) y = 1 y y = -1 b) y = 2 y y = -2 c) No tiene asíntotas d) x³/6 a) x³/2 b) x² c) x d) Una de orden 2 a) Una de orden 1/2 b) Una de orden 1 c) Todas a igual velocidad d) ax bx 1 a) b) ea b a / b c) ln(a) / ln(b) d) Exponentes de sumas a) Multiplicaciones y divisiones b) Bajo cualquier función continua c) Sumas y restas d) P (x) = n a x k=0 n k k Dom = R, Rec R R f(x) = Q (x) m P (x) n Dom = {x R Q (x) = m 0} x = x si x 0; x si x < 0 Dom = R, Rec = [0, + ) R sen x, cos x Dom = R, Rec = [ 1, 1] T = 2π tg x = cos x sen x x = (2k + 1) , k 2 π Z T = π arcsen x, arccos x Dom = [ 1, 1] Rec(arcsen) = [ π/2, π/2] Rec(arccos) = [0, π] Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 33 Función Definición / Fórmula Dominio y recorrido Propiedades clave Arco tangente Asíntotas en Exponencial / Logarítmica Funciones mutuamente inversas Seno y coseno hiperbólicos Tangente hiperbólica Asíntotas en cuando Potencial general Extensible si o Catálogo de infinitésimos equivalentes (x 0) Expresión infinitesimal Equivalente asintótico ( ) Orden y parte principal Orden 1, Orden 1, Orden 1, ( si ) Orden 1, Orden 2, Orden 2, Orden 1, Orden , término de menor grado no nulo Escala de infinitos y límites en el infinito (x ) Regla / Procedimiento Fórmula o jerarquía Cuándo se usa Escala canónica de órdenes Indeterminaciones con y Polinomios en el infinito ; Término de mayor grado domina en arctg x Dom = R, Rec = ( π/2, π/2) y = ±π/2 a (a > x 0); log x (a > a 0, a = 1) Dom(a ) = x R, Dom(log ) = a (0, + ) sh x = , ch x = 2 e e x x 2 e +e x x Rec(sh) = R, Rec(ch) = [1, + ) ch x 2 sh x = 2 1 th x = = ch x sh x e +e x x e e x x Dom = R, Rec = ( 1, 1) y = ±1 x ± x = α eα ln x Dom = (0, + ) ( α R) α Z α N x 0 sen x tg x arcsen x arctg x x P P = x sh x th x arg sh x arg th x x P P = x ln(1 + x) x P P = x ln x x 1 x 1 a x 1 x ln a P P = x ln a 1 cos x 2 x2 P P = x 2 1 2 ch x 1 2 x2 P P = x 2 1 2 (1 + x) α 1 αx P P = αx P (x) = n a x + r r a x + r+1 r+1 + a x n n a x (a = r r r 0) r orden(log x) < a orden(x ) < b orden(c ) < x orden(x ) dx a, c > 1 b, d > 0 P (x) r a x r r log [P (x)] a r r log x a x ± Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 34 Regla / Procedimiento Fórmula o jerarquía Cuándo se usa Principio de sustitución Válido en productos y cocientes (prohibido en sumas y restas) Indeterminación Límites potenciales-exponenciales con base tendiendo a 1 Clasificación de discontinuidades Tipo de discontinuidad Condición analítica de límites laterales Acción / Identificación Evitable , pero o no existe Redefinir Salto finito ( ) Salto Salto infinito (asintótica) Al menos un límite lateral diverge a o Presencia de asíntota vertical Segunda especie (esencial) Al menos uno de los límites laterales no existe Comportamiento oscilatorio local f g lim[f h] = lim[g h]; lim = h f lim h g 1 lim f(x) = g(x) elim g(x)[f(x) 1] lim f(x) = x x 0 lim f(x) = x x 0 + L R f(x ) = 0 L f(x ) = 0 L lim f(x) = x x 0 L = 1 L = 2 lim f(x) x x 0 + L , L 1 2 R = L 2 L 1 + Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 35 Soluciones de las preguntas de repaso 1.

Porque el seno toma el mismo valor periódicamente infinitas veces; para que exista una función inversa unívoca es necesario recortar su rango a un intervalo donde sea inyectiva. 2. Únicamente en aquellos valores reales que anulan el polinomio del denominador, ya que quedan fuera de su dominio de definición. 3. Porque la relación sen(x + π)/cos(x + π) equivale a (-sen x)/(-cos x) = sen x/cos x, repitiendo exactamente sus valores cada π radianes. 4. Su recorrido es [0, π]. Se elige este intervalo para abarcar todos los valores posibles de coseno entre 1 y -1 de forma monótona y unívoca, mientras que el arco seno adopta [-π/2, π/2]. 5.

Porque al ser periódicas no son inyectivas; cada elemento del recorrido tendría infinitas anti- imágenes y la inversa no sería una función unívoca. 6. Su dominio es el intervalo cerrado y su recorrido por convenio es . 7. b) Todos los reales excepto (2k+1)π/2. La tangente divide entre el coseno, por lo que se anula en los múltiplos impares de π/2. 8. c) [0, π]. El arco coseno se define unívocamente sobre el rango angular [0, π]. 9. d) Continua en R con vértice en el origen. Es continua en toda la recta real y toma forma de V simétrica respecto al eje Y. 10. c) [-1, 1]. El argumento del arco seno coincide con el recorrido del seno, acotado en [-1, 1]. 11.

Porque las potencias reales generales se evalúan analíticamente mediante logaritmos, que no admiten argumentos negativos, mientras que las potencias con exponente entero son simples productos repetidos de base real. 12. El recorrido de la función exponencial son los reales positivos (0, ), mientras que el recorrido del logaritmo cubre toda la recta real R, intercambiando exactamente dominio y recorrido por ser inversas. 13. Porque proviene de invertir ch(x), cuyo recorrido es [1, ); además, para x < 1 el radicando x² - 1 sería estrictamente negativo, careciendo de sentido en los números reales. 14.

Porque 0 es una indeterminación analítica; según la regla de potencias con α = 0, f(x) = 1 se define únicamente para x 0, dejando como dominio el conjunto R \ {0}. 15. Se define como y su dominio está delimitado por el intervalo abierto . 16. Se define a través de la relación exponencial-logarítmica , exigiendo necesariamente base estrictamente positiva . 17. c) ch² x - sh² x = 1. La diferencia de cuadrados de coseno y seno hiperbólicos es idénticamente igual a uno. 18. c) [1, ). El coseno hiperbólico toma valores en [1, ), por lo que su inversa sólo existe a partir de 1. 19. c) Por definirse formalmente como .

El cálculo general descansa sobre el logaritmo natural, el cual exige argumento estrictamente positivo. 20. b) (-1, 1). Los valores de th(x) quedan comprendidos estrictamente entre las asíntotas horizontales y = -1 e y = 1. 21. Porque sen(x) y x disminuyen al mismo ritmo hacia 0 (orden 1), mientras que 1 - cos(x) disminuye con el cuadrado del ángulo (orden 2). [ 1, 1] [ π/2, π/2] arg th x = ln( ) 2 1 1 x 1+x ( 1, 1) x = \fieldα e\fieldαln x x > 0 eαlnx Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 36 22. La función f(x), pues es un infinitésimo de orden superior y su valor numérico decrece a cero con mayor rapidez que g(x). 23.

El teorema del sándwich, ya que x/sen(x) queda atrapado entre 1 y 1/cos(x), y esta última cota tiende a 1. 24. La parte principal es 5x^3, pues el comportamiento local en x -> 0 queda dominado exclusivamente por el monomio no nulo de menor grado. 25. Porque mediante trigonometría se reescribe como , donde el exponente del término en x es 2. 26. Posee la equivalencia , deducida mediante el cambio de variable . 27. b) f es de orden superior a g. Un cociente nulo indica que el numerador decae a cero a un ritmo estrictamente superior al denominador. 28. c) x²/2. La deducción por ángulo mitad establece que 1 - cos(x) equivale asintóticamente a x²/2. 29. d) El de menor exponente no nulo.

Al tender a 0, las potencias más bajas decaen más despacio y dominan la aproximación del polinomio. 30. b) El teorema del sándwich. Se obtiene acotando x/sen(x) entre 1 y 1/cos(x) en el círculo trigonométrico y aplicando el emparedado. 31. Porque al dividir el polinomio entre su término de mayor grado, todas las potencias menores tienden a cero en el infinito, dejando un cociente unitario. 32. La función del denominador, g(x), tiene un orden superior de crecimiento que f(x), haciendo que la fracción se reduzca a cero. 33. Equivale asintóticamente a 3·log(x), pues el término de mayor grado determina el argumento y las constantes aditivas resultan insignificantes. 34.

Porque la resta puede cancelar los términos principales idénticos, haciendo que los términos de orden inferior determinen el límite verdadero. 35. El límite es infinito, puesto que la función exponencial 3^x tiene un orden estrictamente superior a cualquier potencia de x. 36. Cuando el límite de su cociente al aproximarse al punto considerado es exactamente igual a 1. 37. Porque la resta puede cancelar los términos de mayor magnitud idénticos y generar indeterminaciones, haciendo que la diferencia dependa de órdenes inferiores. 38. Converge a 0, dado que toda función exponencial con base mayor que 1 tiene un orden de crecimiento estrictamente superior a cualquier función potencial. 39.

b) f(x) es de orden superior. Un cociente infinito significa que el numerador diverge con un ritmo superior al del denominador. 40. a) 5·log(x). El logaritmo del polinomio se comporta asintóticamente como log(x ), lo que equivale a 5·log(x). 41. c) Solo en productos y cocientes. La demostración del principio de sustitución se basa en la separación de factores o divisores, siendo inválida en sumas o restas. 42. d) . Las funciones potencial-exponenciales superan estrictamente en la jerarquía a exponenciales, potenciales y logarítmicas. 43.

Porque al aproximarse a cero la función oscila infinitas veces entre -1 y 1 sin estabilizarse hacia ningún número real, por lo que el límite no existe y la discontinuidad es de segunda especie. 2 sen (x/2) 2 2(x/2) = 2 x /2 2 ln(x) x 1 y = x 1 0 f(x)/g(x) x3x xdx Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 37 44. El arco coseno exige x en [-1, 1] y el denominador no puede anularse. Como arccos(x) = 0 únicamente en x = 1, el dominio resulta ser [-1, 1). 45. Porque f(-x) = "-x - 2" = "x + 2", que no coincide en general con "x - 2" ni con -"x - 2". Su simetría es respecto al eje vertical x = 2, no respecto al eje de ordenadas. 46.

Cuando x tiende a 1 por la izquierda, la exponencial e^{1/(x-1)} tiende a 0, dejando el término sen[1/(x-1)], cuyo valor oscila sin cesar en [-1, 1], impidiendo la existencia del límite lateral. 47. En la discontinuidad evitable ambos límites laterales existen y son idénticos, fallando únicamente el valor de la función en el punto. En el salto finito, los límites laterales son finitos pero tienen valores distintos. 48. Tiene una asíntota horizontal en y = 4 cuando x tiende a más infinito (3 + 1) y otra en y = 2 cuando x tiende a menos infinito (3 - 1). 49.

Porque para valores fraccionarios muy pequeños ("x" < 1), elevar a potencias superiores reduce drásticamente la magnitud del número, como 0,01 comparado frente a 0,1. 50. Porque cuando x tiende a infinito, la base 1/x tiende a 0, pero el exponente 1/x también tiende a 0; una base no nula elevada a un exponente que tiende a 0 converge hacia 1. 51. El límite vale 1, lo cual significa por definición que ambas funciones son infinitésimos equivalentes en x -> 0. 52. Al factorizarlo como , el primer término equivale a y el segundo tiende a 3, resultando , cuyo exponente es 2. 53.

Se calcula determinando la equivalencia de cada sumando por separado y conservando únicamente los términos de menor grado, despreciando los de orden superior. 54. d) [-2, -4/3]. El argumento de la función arco seno debe cumplir -1 <= 3x + 5 <= 1, lo que da [-2, -4/3]. 55. b) 2π / 3. Para una función cosenoidal con argumento de frecuencia 3x, el periodo se calcula como 2π/3. 56. a) Salto finito. El límite por la derecha vale -1/2 y por la izquierda vale -3/2; al ser finitos y distintos, hay salto finito. 57. c) y = 2 y y = -2. Como la tangente hiperbólica tiende a 1 y -1 en los infinitos, la función tiende a 2 y -2. 58. b) x³/2.

Al extraer tg(x) factor común queda tg(x)(1 - cos(x)) ~ x · (x²/2) = x³/2. 59. a) Una de orden 2. A mayor orden del infinitésimo respecto a x, más rápida es su convergencia al valor nulo. 60. d) ln(a) / ln(b). Al usar la equivalencia - 1 ~ x ln(a) y - 1 ~ x ln(b), las x se cancelan. 61. b) Multiplicaciones y divisiones. El principio de sustitución asintótica solo conserva la validez en factores de productos y cocientes. (1 cos x)(1 + cos x + cos x) 2 2 x2 x 2 3 2 ax bx Funciones Fundamentales, Infinitésimos e Infinitos 38