Examen de Estadística UB 2013 · Setembre

Problema 1 (1 punt). Probabilitats d'aparició d'espècies en sediments

En una mostra de sediment procedent d'un llac, la probabilitat de trobar una espècie A és de 0,5, la probabilitat de trobar una espècie B és de 0,35, i la probabilitat de detectar almenys una d'aquestes dues espècies és de 0,75. A partir d'aquestes dades, determina:

a.

b.

c.

Problema 2 (1 punt). Funció de densitat contínua i esperança matemàtica

Es considera la funció contínua definida en l'interval $0 < x < 1$ per l'expressió $f(x) = k x^2(1 - x)$.

a.

$k =$

b.

$E[X] =$

Se sap que un de cada 500 pacients ingressats d'urgència per un accident cerebral pateix complicacions clíniques durant els deu primers dies d'evolució.

a.

Calcula la probabilitat de registrar entre 4 i 6 pacients (ambdós inclosos) amb complicacions sobre un grup de 900 pacients hospitalitzats per aquest motiu.

Se sap que un de cada 500 pacients ingressats d'urgència per un accident cerebral pateix complicacions clíniques durant els deu primers dies d'evolució.

b.

Troba la probabilitat que es detectin més de 15 pacients amb complicacions en una mostra de 6.000 ingressats per aquesta malaltia.

Problema 4 (2 punts). Efecte de la glucosa sobre el metabolisme de l'etanol

En un assaig sobre el metabolisme de l'etanol en rates de laboratori d'edat i pes homogenis, es mesura la concentració d'etanol en sang una hora després d'haver administrat una dosi estàndard. Les rates s'han assignat a l'atzar a dos grups: les del grup 1 es mantenen en dejú, mentre que a les del grup 2 se'ls administra conjuntament una solució de glucosa. Se sap que la quantitat d'etanol en sang segueix una distribució normal en ambdues poblacions.

Les sortides d'un programari estadístic mostren els següents resultats:

1. Estadística descriptiva:

Amb glucosa: $n = 5$; mitjana = $41{,}1$; desviació estàndard corregida = $5{,}667$

En dejú: $n = 5$; mitjana = $32{,}4$; desviació estàndard corregida = $4{,}242$

2. Prova t per a la mitjana de les diferències (dades aparellades):

$H_0: \mu_d = 0$ enfront de $H_1: \mu_d \neq 0$, on $\mu_d = \mu_1 - \mu_2$

Estadístic de test $T = 1{,}965$; $p\text{-valor} = 0{,}1208$

3. Prova t per a mostres independents (bilateral):

$H_0: \mu_1 = \mu_2$ enfront de $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$

Estadístic de test $T = 2{,}7512$; $p\text{-valor} = 0{,}0250$

4. Prova t per a mostres independents (unilateral):

$H_0: \mu_1 = \mu_2$ enfront de $H_1: \mu_1 > \mu_2$

Estadístic de test $T = 2{,}7512$; $p\text{-valor} = 0{,}0125$

a)

Justifica de forma raonada quins dels apartats anteriors són adequats per discernir si existeixen diferències entre ambdues condicions experimentals. Quina és la decisió estadística i conclusió amb un nivell de significació de l'1% ($\alpha = 0{,}01$) i amb un nivell del 5% ($\alpha = 0{,}05$)?

b)

Explica detalladament per quin motiu el $p$-valor del cas 3 és exactament el doble que el del cas 4, tenint en compte que l'estadístic de contrast té el mateix valor en ambdós casos.

Problema 5 (2 punts). Anàlisi de patologies associades a tres explotacions mineres

En una comarca minera operen tres explotacions diferents (A, B i C). Hi ha sospites que la taxa de patologies respiratòries o ambientals és especialment alta en alguna d'aquestes mines. Amb l'objectiu d'esbrinar si la proporció de treballadors afectats és equivalent a les tres explotacions, s'avalua una mostra d'empleats de cadascuna registrant els casos sans i els que presenten la malaltia laboral. Les dades recollides figuren a la següent taula:

Explotació minera

Sense patologia

Amb patologia

A

33

115

B

34

71

C

23

35

A quina conclusió s'arriba a partir d'aquestes dades?

Avaluació d'un test diagnòstic: intervals i contrast de proporcions

Un laboratori biomèdic ha dissenyat una nova metodologia per detectar una patologia. En assajar-la sobre una mostra de 135 pacients que es coneix amb certesa que pateixen la malaltia, el mètode la detecta correctament en 129 ocasions. La bibliografia clàssica recull que les tècniques estàndard tenen una sensibilitat del 90% (és a dir, no detecten 10 de cada 100 malalts).

a.

Emprant un interval de confiança amb un nivell del 95%, es pot assegurar que l'efectivitat de la nova tècnica supera el 90%?

Sí

No

Avaluació d'un test diagnòstic: intervals i contrast de proporcions

Un laboratori biomèdic ha dissenyat una nova metodologia per detectar una patologia. En assajar-la sobre una mostra de 135 pacients que es coneix amb certesa que pateixen la malaltia, el mètode la detecta correctament en 129 ocasions. La bibliografia clàssica recull que les tècniques estàndard tenen una sensibilitat del 90% (és a dir, no detecten 10 de cada 100 malalts).

b.

Es desitja contrastar aquest nou procediment amb el d'un segon laboratori, el qual ha aplicat el seu mètode sobre una mostra de 150 pacients prèviament diagnosticats de la mateixa afecció i n'ha detectat 137 casos. Amb un nivell de significació de $\alpha = 0{,}10$, es pot acceptar que l'efectivitat del primer laboratori és superior a la del segon? I amb un nivell de $\alpha = 0{,}05$?

Sí

No

Sí

No