Examen de Aplicaciones Informáticas URL 2019 · final del primer parcial (Curs 2019-2020)

Exercici 1 (20%). Ajust polinòmic per mínims quadrats

Trobeu el polinomi de segon grau $P(x) = ax^2 + bx + c$ que millor s'ajusta, en el sentit dels mínims quadrats, a la taula de dades següent. Calculeu també l'error quadràtic mitjà de l'ajust.

X · Y

2 · 5/2

1 · 3/2

0 · -1

-1 · 0

a)

b)

Exercici 2 (10%). Base característica d'una matriu hermítica

Sigui $U$ una matriu unitària ($U^* = U^{-1}$). Demostreu que la base característica (de vectors propis) d'una matriu hermítica diagonalitzable és unitària (ortonormal).

Exercici 3 (10%). Resolució d'equació complexa

Trobeu totes les solucions de l'equació:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i) \cdot e^{\pi l} = e^2$$ a)

b)

Exercici 4 (20%). Diagonalització i arrel d'una matriu

Donada la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -3 \\ -3 & 4 & 3 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}$$

a)

Obtingueu els valors propis (VAPs) i els vectors propis (VEPs) de la matriu $M$.

b)

Resoleu l'equació matricial $H^2 = M$.

Exercici 5 (30%). Espais mètrics i transformacions lineals

Sigui $A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_W \right\}$ una base de l'espai vectorial $U^3$ expressada respecte una base ortonormal $W$.

Es considera també el vector $h_W = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}_W$.

a)

Trobeu la norma de:

$$h_W = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}_W$$

b)

Calculeu la matriu mètrica respecte de la base $A$.

Exercici 5 (30%). Espais mètrics i transformacions lineals

Sigui $A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_W \right\}$ una base de l'espai vectorial $U^3$ expressada respecte una base ortonormal $W$.

Es considera també el vector $h_W = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}_W$.

c)

Ortonormalitzeu la base $A$ mitjançant el mètode de Gram-Schmidt.

Exercici 5 (30%). Espais mètrics i transformacions lineals

Sigui $A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_W \right\}$ una base de l'espai vectorial $U^3$ expressada respecte una base ortonormal $W$.

Es considera també el vector $h_W = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}_W$.

d)

Sigui $T: U^3 \rightarrow U^2$ una aplicació tal que:

$$T\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}_A = \begin{pmatrix} a - b & 0 \\ 0 & c - b \end{pmatrix}$$

respecte de la base $E = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$. Demostreu que $T$ és una transformació lineal.

e)

Trobeu la imatge de $h_W$ expressada en la base $E$.