Exercici 5 - Aplicacions lineals · Aplicaciones Informáticas URL 2019

Exercici 5 (30%). Espais mètrics i transformacions lineals

Sigui $A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_W, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}_W \right\}$ una base de l'espai vectorial $U^3$ expressada respecte una base ortonormal $W$.

Es considera també el vector $h_W = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}_W$.

d)

Sigui $T: U^3 \rightarrow U^2$ una aplicació tal que:

$$T\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}_A = \begin{pmatrix} a - b & 0 \\ 0 & c - b \end{pmatrix}$$

respecte de la base $E = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$. Demostreu que $T$ és una transformació lineal.

e)

Trobeu la imatge de $h_W$ expressada en la base $E$.