Examen de Estadística i Optimització UDL 2014 · Juny

Problema 1 (1 punt). Optimització de l'àrea d'un mirall

Es pretén dissenyar i construir miralls amb un perímetre total de $10\text{ m}$. La geometria de cada mirall està formada per un rectangle a la part inferior rematat per una semicircumferència a la part superior.

a.

Determineu la funció que expressa l'àrea del mirall exclusivament en funció del radi $r$ de la part semicircular.

b.

Trobeu el valor d'aquest radi que fa màxima la superfície del mirall.

Problema 2 (1 punt). Punts crítics i extrems d'una funció de dues variables

Es considera la funció $f(x, y) = x^3 + y^2 x - ax - y$, on $a \in \mathbb{R}$ és un paràmetre.

a.

Calculeu les expressions de totes les derivades parcials tant de primer com de segon ordre de $f$.

b.

Obtingueu els punts crítics de la funció en funció del paràmetre $a$. Demostreu que si $a^2 < 3$, la funció no té cap punt crític.

c.

Per al cas concret $a = \sqrt{3}$, determineu els punts crítics existents i procediu a la seva classificació.

Problema 3 (2 punts). Distribució normal i binomial en un brollador d'aigua

La quantitat d'aigua que subministra una font pública en prémer el seu polsador segueix una distribució normal $N(110, 20)$ ml.

Valors de referència de la distribució normal estàndard:

$z$

$p(N(0, 1) \le z)$

$z$

$p(N(0, 1) \le z)$

0,25

0,5987

0,50

0,6915

0,75

0,7734

1,00

0,8413

1,25

0,8944

1,50

0,9332

a)

Si es col·loca una ampolla de 125 ml de capacitat sota el brollador i s'acciona el polsador una sola vegada, quina és la probabilitat que l'ampolla es desbordi?

b)

Si es repeteix el procediment de l'apartat anterior amb 10 ampolles de manera independent, quina és la probabilitat que se'n vessin menys de dues?

c)

En el cas d'omplir 200 ampolles, quin és el nombre mitjà d'ampolles que s'espera que es vessin?

d)

Si es col·loca una galleda sota la font i es prem el polsador 4 vegades consecutives (suposant independència entre pulsacions), calculeu la probabilitat que el volum total d'aigua recollit sigui inferior a 450 ml.