Problema 2 · Estadística i Optimització UDL Juny 2014

Tema: Funcions de diverses variables i optimització · Del examen Juny (2014)

Enunciado

Problema 2 (1 punt). Punts crítics i extrems d'una funció de dues variables

Es considera la funció f(x,y)=x3+y2x−ax−yf(x, y) = x^3 + y^2 x - ax - y, on a∈Ra \in \mathbb{R} és un paràmetre.

a.

Calculeu les expressions de totes les derivades parcials tant de primer com de segon ordre de ff.

b.

Obtingueu els punts crítics de la funció en funció del paràmetre aa. Demostreu que si a2<3a^2 < 3, la funció no té cap punt crític.

c.

Per al cas concret a=3a = \sqrt{3}, determineu els punts crítics existents i procediu a la seva classificació.

Enunciado: Problema 2 · Estadística i Optimització UDL Juny 2014

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Expressió de la derivada parcial de primer ordre ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}

Solución: 3x2+y2−a3x^2 + y^2 - a

a. Expressió de la derivada parcial de primer ordre ∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y}

Solución: 2xy−12xy - 1

a. Expressió de la derivada parcial de segon ordre ∂2f∂x2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}

Solución: 6x6x

a. Expressió de la derivada parcial de segon ordre ∂2f∂y2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

Solución: 2x2x

a. Expressió de la derivada parcial creuada ∂2f∂x∂y\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

Solución: 2y2y

b. Obtingueu els punts crítics de la funció en funció del paràmetre aa. Demostreu que si a2<3a^2 < 3, la funció no té cap punt crític.

Solución: No hi ha cap punt crític si a2<3a^2 < 3 perquè el discriminant de l'equació en u=x2u = x^2 és Δ=16(a2−3)<0\Delta = 16(a^2 - 3) < 0.

c. Per al cas concret a=3a = \sqrt{3}, determineu els punts crítics existents i procediu a la seva classificació.

Solución: P1=(36,32)P_1 = \left(\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}}, \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) i P2=(−36,−32)P_2 = \left(-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right); tots dos són punts de sella.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 2 · Juny 2015

Más ejercicios de Funcions de diverses variables i optimització