Examen de Álgebra UDL 2023 · Primer control - Octubre 2023

Problema 1 (4 punts). Demostració d'identitats de conjunts

Considerant tres conjunts arbitraris $A$, $B$ i $C$, determineu si cadascuna de les igualtats següents és certa o falsa. En cas que sigui certa, demostreu-la utilitzant les propietats de les operacions entre conjunts; en cas contrari, proporcioneu un contraexemple que ho justifiqui:

a.

$(2\text{ punts})\ (A \cap B) - C = (A - C) \cap (B - C)$

L'afirmació és:

Certa

Falsa

b.

$(2\text{ punts})\ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$

L'afirmació és:

Certa

Falsa

Problema 2 (6 punts). Subconjunts per suma d'exponents i partició

Sigui el conjunt $A = \{x = 2^n \cdot 3^m \mid n, m \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$ i considerem la col·lecció de subconjunts $\{A_i\}_{i \in I}$ indexada per $I = \mathbb{N} \cup \{0\}$, on cadascun ve donat per: $$A_i = \{x = 2^n \cdot 3^m \mid n + m = i \text{ amb } n, m \in \mathbb{N} \cup \{0\}\}$$

a.

$(3\text{ punts})$ Escriviu explícitament els elements dels conjunts $A_0$, $A_1$, $A_2$ i $A_3$:

$A_0 = \{$

$\}$

$A_1 = \{$

$\}$

$A_2 = \{$

$\}$

$A_3 = \{$

$\}$

b.

$(3\text{ punts})$ Raoneu si la família $\{A_i\}_{i \in I}$ constitueix una partició del conjunt $A$:

Constitueix una partició?

Sí

No