Examen de Matemáticas Empresariales UDL 2018 · Prova 2 d'Avaluació Continuada (Gener 2018)

Exercici 1 (1,50 punts). Discussió i resolució d'un sistema lineal amb paràmetre

Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependents del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + z = a^2 \end{cases}$$

a.

Expresseu el sistema en format matricial. [0,25 punts]

b.

Classifiqueu i discutiu el sistema segons els diferents valors del paràmetre $a$. [0,75 punts]

c.

Trobeu el conjunt de solucions en el cas particular en què $a = 1$. [0,50 punts]

Exercici 2 (1,50 punts). Operacions matricials i resolució d'una equació matricial

Siguin les matrius següents:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

a.

Efectueu l'operació matricial $A \cdot C - B \cdot D^t$. [0,75 punts]

b.

Donades les matrius $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ i la matriu identitat $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, aïlleu i calculeu la matriu $X$ que verifica la igualtat $E \cdot X = I - E^t$. [0,75 punts]

Exercici 3 (1 punt). Dependència i independència lineal de tres vectors amb paràmetre

Considerant els vectors de $\mathbb{R}^3$ donats per $\vec{u} = (1, 2, p)$, $\vec{v} = (0, 1, 1)$ i $\vec{w} = (p, 1, 0)$, determineu raonadament per a quins valors del paràmetre $p$ formen un conjunt linealment dependent i per a quins són linealment independents.

Exercici 4 (1,50 punts). Modelització d'un problema de compra d'accions amb sistema lineal

Tres amics (Guillem, Judit i Samira) entren en el mercat borsari adquirint cadascun un determinat nombre d'accions d'una mateixa societat mercantil. En aquesta primera operació, entre tots tres compren un total de 37 accions.

Vistos els bons resultats aconseguits durant el primer mes, la Judit i la Samira opten per comprar-ne més, de tal manera que la Judit duplica la quantitat d'accions que tenia inicialment i la Samira la triplica, mentre que el Guillem manté la seva cartera inalterada. En acabar aquesta segona operació, tenen conjuntament 69 accions.

Es demana establir el nombre d'accions que va adquirir inicialment cadascun d'ells. Si hi ha més d'una solució, indiqueu de forma exhaustiva totes les combinacions possibles.

$y =$

$x =$

solucions possibles (des de $z = 0$ fins a $z =$)

Exercici 5 (2 punts). Anàlisi d'un model multisectorial de Leontief

Una economia consta de dos sectors productius: el sector Primari (P) i el sector Secundari (S).

El sector Primari genera una producció total de 1.500 unitats, de les quals 150 són consumides pel mateix sector Primari i 450 són destinades al sector Secundari.

El sector Secundari genera una producció total de 1.000 unitats, de les quals 200 són consumides pel propi sector Secundari i 300 es destinen al sector Primari.

a)

[0,50 punts] Elaboreu la taula d'inputs i outputs de l'economia i deduïu la matriu tecnològica ($A$) i la matriu de Leontief ($I - A$).

Producció · Destinació

Primari · Secundari

Primari

Secundari

Total

$a_{11} =$

$a_{12} =$

$a_{21} =$

$a_{22} =$

b)

[0,50 punts] Justifiqueu quina serà la demanda final que es pot cobrir si el nivell de producció és de 1.500 unitats del sector Primari i 1.000 unitats del sector Secundari.

Demanda Primari: unitats

Demanda Secundari: unitats

c)

[1 punt] Determineu justificadament quin hauria de ser el nivell de producció total de cada sector per satisfer una demanda final de 1.000 unitats per a cadascun dels dos sectors.

Producció Primari ($P_1$): unitats

Producció Secundari ($P_2$): unitats

Exercici 6 (2,50 punts). Programació lineal aplicada a la producció d'un celler

El celler familiar Ca l'Enric prepara una setmana promocional de vi ecològic elaborant exclusivament dues varietats: Llàgrima de Lliri (LL) i Son Scala (SS).

Produir una caixa de LL requereix 6 litres de most i 2 hores de mà d'obra. Es ven a un preu de 20 euros la caixa.

Produir una caixa de SS requereix 6 litres de most i 4 hores de mà d'obra. Es ven a un preu de 40 euros la caixa.

El celler compta amb 4 membres familiars que treballen 6 hores al dia cadascun i disposa d'un màxim de 60 litres de most diaris.

a.

Formuleu la funció objectiu, determineu les restriccions i traceu la regió factible. Quantes caixes de cada varietat s'han de vendre cada dia per maximitzar els ingressos? [1,50 punts]

€

b.

Si els preus de venda passessin a ser de 40 euros per cada caixa de LL i de 20 euros per cada caixa de SS, quin programa de producció maximitzaria els ingressos del celler? [1 punt]

€