Examen de Matemàtiques I i II UAB 2020 · Juny

Es considera la regió plana corresponent al sector circular $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le a^2,\; y \ge \tan(b)|x|\}$ juntament amb una distribució de massa donada per la densitat superficial $\rho(x,y) = (x^2 + y^2)^c$.

a.

Determineu el valor de la massa total de la regió $S$.

b.

Calculeu la coordenada $y$ del centre de masses ($y_{\text{cm}}$) de $S$.

Siguin el camp vectorial pla $\vec{F}(x,y) = (ax + by,\; bx + ey)$ definit sobre $\mathbb{R}^2$ i la corba $C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: (x - f)^2 + (y - g)^2 = c^2\}$ orientada en sentit antihorari (deixant el domini acotat a la seva esquerra).

a.

Trobeu el rotacional del camp tridimensional estès $\vec{G}(x, y, z) = (ax + by,\; bx + ey,\; 0)$ a $\mathbb{R}^3$.

b.

Calculeu la circulació del camp $\vec{F}$ al llarg de la circumferència $C$.