Examen de Matemàtiques I i II UAB 2019 · Segon Parcial (Curs 2019-2020)

Exercici 1. Càlcul de primitiva per canvi de variable i parts

Calculeu la següent primitiva:$$\int \sqrt{t}\,e^{\sqrt{t}}\,dt$$

Exercici 2. Diagonalització d'una matriu $3\times 3$

Considereu la següent matriu real:$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

a)

Justifiqueu si la matriu $A$ diagonalitza.

Sí

No

b)

En cas afirmatiu, determineu una base formada per vectors propis i la corresponent matriu de canvi de base $P$.

Exercici 3. Modelització d'un dipòsit de mescles mitjançant EDO

Un dipòsit conté inicialment un volum constant de $200\text{ L}$ d'aigua en el qual hi ha dissolts $10\text{ g}$ de sucre. Al dipòsit hi entra una dissolució amb una concentració de $5\text{ g/L}$ de sucre a un ritme de $3\text{ L/min}$. La mescla, mantinguda perfectament homogènia mitjançant agitació, surt del dipòsit amb el mateix cabal de $3\text{ L/min}$.

a.

Trobeu l'expressió que descriu la quantitat de sucre $x(t)$ continguda en el dipòsit en qualsevol instant $t$.

b.

Calculeu la quantitat de sucre que hi haurà al dipòsit a llarg termini ($t \to +\infty$).

Exercici 4. Resolució d'equacions diferencials lineals de segon ordre

Trobeu la solució general de les següents equacions diferencials ordinàries:

a.

$y'' + 2y' + y = 0$

b.

$y'' + 2y' + y = x^2 - 1$