Pregunta 4 · Estadística I UAB Juny 2022

Pregunta 4 (4 punts). Distribució Normal de la població de Sylvania

L'edat dels habitants de l'estat de Sylvania (variable $X$) segueix un comportament gaussià amb mitjana $\mu$ i desviació estàndard $\sigma$: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

La legislació local fixa la jubilació obligatòria als 65 anys complerts, i les dades oficials indiquen que un 10,56% de la ciutadania es troba actualment retirada. Per a respondre les preguntes, feu ús de la taula de la distribució normal estàndard següent:

Probabilitats associades a la cua esquerra, $P(Z < z)$, de la distribució Normal estàndard, $N(0, 1)$

$z$

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1.0 · 0.8413 · 0.8438 · 0.8461 · 0.8485 · 0.8508 · 0.8531 · 0.8554 · 0.8577 · 0.8599 · 0.8621

1.1 · 0.8643 · 0.8665 · 0.8686 · 0.8708 · 0.8729 · 0.8749 · 0.8770 · 0.8790 · 0.8810 · 0.8830

1.2 · 0.8849 · 0.8869 · 0.8888 · 0.8907 · 0.8925 · 0.8944 · 0.8962 · 0.8980 · 0.8997 · 0.9015

1.3 · 0.9032 · 0.9049 · 0.9066 · 0.9082 · 0.9099 · 0.9115 · 0.9131 · 0.9147 · 0.9162 · 0.9177

1.4 · 0.9192 · 0.9207 · 0.9222 · 0.9236 · 0.9251 · 0.9265 · 0.9279 · 0.9292 · 0.9306 · 0.9319

3.0 · 0.9987 · 0.9987 · 0.9987 · 0.9988 · 0.9988 · 0.9989 · 0.9989 · 0.9989 · 0.9990 · 0.9990

3.1 · 0.9990 · 0.9991 · 0.9991 · 0.9991 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9993 · 0.9993

3.2 · 0.9993 · 0.9993 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9995

3.3 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9997

3.4 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9998

a)

Si el marc legal permet incorporar-se al mercat laboral només a partir dels 16 anys (i no abans), i el grup en franja activa (edats compreses entre els 16 i els 65 anys) comprèn el 77,93% del total de la població, determineu el valor de la mitjana d'edat ($\mu$) i de la desviació típica ($\sigma$) dels habitants de Sylvania.

b)

Segons la carta magna del país, qualsevol resident que superi una edat igual o superior a la mitjana poblacional incrementada en tres desviacions típiques és guardonat amb la prestigiosa «Medalla d'Honor de Sylvania». Quin percentatge exacte de ciutadans rep aquest reconeixement?

%