Examen de Estadística I UAB 2022 · Juny

Pregunta 1 (1 punt). Anàlisi descriptiva de dades de subscripció

A partir d'una mostra de 900 llars de la demarcació de Barcelona, es disposa d'informació sobre el consum de plataformes digitals mitjançant les variables següents:

SUBS: quantitat de serveis de streaming contractats per la família.

AGE: edat mitjana registrada entre els membres de la unitat familiar.

INCOME: volum d'ingressos nets percebuts anualment per la llar (expressat en euros).

Les sortides informàtiques amb els resums descriptius i d'associació s'indiquen a continuació:

Correlacions

SUBS

AGE

INCOME

SUBS

1.0000000

-0.2521833

0.7400079

AGE

-0.2521833

1.0000000

-0.1717222

INCOME

0.7400079

-0.1717222

1.0000000

Atesos els resultats anteriors, contesteu a les qüestions següents:

a.

Quin és el valor mitjà de serveis de subscripció contractats a la mostra? Indiqueu de quina variable i de quina columna o camp s'obté la xifra de manera justificada.

b.

Quin és el límit d'ingressos per sota del qual es troba el 50% de les famílies amb menys recursos de la mostra? Justifiqueu la resposta identificant la variable i l'estadístic utilitzat.

€

Pregunta 1 (1 punt). Anàlisi descriptiva de dades de subscripció

A partir d'una mostra de 900 llars de la demarcació de Barcelona, es disposa d'informació sobre el consum de plataformes digitals mitjançant les variables següents:

SUBS: quantitat de serveis de streaming contractats per la família.

AGE: edat mitjana registrada entre els membres de la unitat familiar.

INCOME: volum d'ingressos nets percebuts anualment per la llar (expressat en euros).

Les sortides informàtiques amb els resums descriptius i d'associació s'indiquen a continuació:

Correlacions

SUBS

AGE

INCOME

SUBS

1.0000000

-0.2521833

0.7400079

AGE

-0.2521833

1.0000000

-0.1717222

INCOME

0.7400079

-0.1717222

1.0000000

Atesos els resultats anteriors, contesteu a les qüestions següents:

c.

Ateses les dades, es pot afirmar que les variables SUBS i INCOME són independents? Raoneu la resposta.

No

Sí

d.

Descriviu i traceu aproximadament el diagrama de dispersió ( scatterplot) corresponent a la relació entre SUBS i AGE, justificant clarament la forma del gràfic resultant.

Pregunta 2 (2 punts). Càlcul de probabilitats d'accidentalitat viària

Una companyia asseguradora d'automòbils avalua el risc d'accident basant-se, entre altres elements, en els anys d'experiència al volant. Es defineixen els esdeveniments:

A: «el conductor pateix un accident de trànsit».

B: «el conductor disposa d'un permís de conduir amb menys de 5 anys d'antiguitat».

Es coneixen les probabilitats següents: la probabilitat general que un conductor qualsevol tingui un accident és $P(A) = 0{,}12$; la probabilitat que un conductor tingui menys de cinc anys de carnet és $P(B) = 0{,}26$; i la probabilitat conjunta que concorrin ambdues circumstàncies és $P(A \text{ i } B) = P(A \cap B) = P(A \cap B) = 0{,}05$ (és a dir, $P(A \cap B) = P(A \cap B) = 0{,}05$).

a.

La probabilitat que un conductor implicat tingui un accident de circulació sabent prèviament que compta amb menys de 5 anys d'antiguitat al permís de conduir.

Pregunta 2 (2 punts). Càlcul de probabilitats d'accidentalitat viària

Una companyia asseguradora d'automòbils avalua el risc d'accident basant-se, entre altres elements, en els anys d'experiència al volant. Es defineixen els esdeveniments:

A: «el conductor pateix un accident de trànsit».

B: «el conductor disposa d'un permís de conduir amb menys de 5 anys d'antiguitat».

Es coneixen les probabilitats següents: la probabilitat general que un conductor qualsevol tingui un accident és $P(A) = 0{,}12$; la probabilitat que un conductor tingui menys de cinc anys de carnet és $P(B) = 0{,}26$; i la probabilitat conjunta que concorrin ambdues circumstàncies és $P(A \text{ i } B) = P(A \cap B) = P(A \cap B) = 0{,}05$ (és a dir, $P(A \cap B) = P(A \cap B) = 0{,}05$).

b.

La probabilitat de patir un accident en el cas que el conductor compti amb 5 o més anys d'antiguitat del carnet.

Pregunta 3 (3 punts). Modelització del flux de notícies falses

A partir de registres recollits al llarg dels darrers cinc anys, s'estima que el volum de notícies falses ( fake news) emeses a través de la xarxa Twitter segueix un ritme mitjà de 39,3 missatges per hora. Un conegut magnat ha informat que comprarà la plataforma exclusivament si la probabilitat que es difongui alguna d'aquestes informacions falses (és a dir, una o més) en un minut arbitrari qualsevol és inferior a $\frac{1}{2}$.

a.

Identifiqueu quin model teòric de probabilitat i amb quin paràmetre descriu el nombre de fake news transmeses per la xarxa en l'interval d'un minut concret.

b.

A partir d'aquest càlcul probabilístic, confirmeu si l'inversor durà a terme finalment l'adquisició de la companyia.

Sí

No

c.

Un assessor d'aquest inversor decideix analitzar directament durant una hora completa quants minuts presenten com a mínim la difusió d'una d'aquestes falsedats. Quina distribució de probabilitat (i amb quins paràmetres associats) segueix la variable que comptabilitza el nombre de minuts d'aquesta hora en què es detecta alguna notícia falsa?

d.

Quin és el valor mitjà esperat de minuts d'una hora en què es detectarà difusió d'alguna d'aquestes informacions? Raoneu la resposta.

minuts

Pregunta 4 (4 punts). Distribució Normal de la població de Sylvania

L'edat dels habitants de l'estat de Sylvania (variable $X$) segueix un comportament gaussià amb mitjana $\mu$ i desviació estàndard $\sigma$: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

La legislació local fixa la jubilació obligatòria als 65 anys complerts, i les dades oficials indiquen que un 10,56% de la ciutadania es troba actualment retirada. Per a respondre les preguntes, feu ús de la taula de la distribució normal estàndard següent:

Probabilitats associades a la cua esquerra, $P(Z < z)$, de la distribució Normal estàndard, $N(0, 1)$

$z$

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1.0 · 0.8413 · 0.8438 · 0.8461 · 0.8485 · 0.8508 · 0.8531 · 0.8554 · 0.8577 · 0.8599 · 0.8621

1.1 · 0.8643 · 0.8665 · 0.8686 · 0.8708 · 0.8729 · 0.8749 · 0.8770 · 0.8790 · 0.8810 · 0.8830

1.2 · 0.8849 · 0.8869 · 0.8888 · 0.8907 · 0.8925 · 0.8944 · 0.8962 · 0.8980 · 0.8997 · 0.9015

1.3 · 0.9032 · 0.9049 · 0.9066 · 0.9082 · 0.9099 · 0.9115 · 0.9131 · 0.9147 · 0.9162 · 0.9177

1.4 · 0.9192 · 0.9207 · 0.9222 · 0.9236 · 0.9251 · 0.9265 · 0.9279 · 0.9292 · 0.9306 · 0.9319

3.0 · 0.9987 · 0.9987 · 0.9987 · 0.9988 · 0.9988 · 0.9989 · 0.9989 · 0.9989 · 0.9990 · 0.9990

3.1 · 0.9990 · 0.9991 · 0.9991 · 0.9991 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9993 · 0.9993

3.2 · 0.9993 · 0.9993 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9995

3.3 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9997

3.4 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9998

a)

Si el marc legal permet incorporar-se al mercat laboral només a partir dels 16 anys (i no abans), i el grup en franja activa (edats compreses entre els 16 i els 65 anys) comprèn el 77,93% del total de la població, determineu el valor de la mitjana d'edat ($\mu$) i de la desviació típica ($\sigma$) dels habitants de Sylvania.

b)

Segons la carta magna del país, qualsevol resident que superi una edat igual o superior a la mitjana poblacional incrementada en tres desviacions típiques és guardonat amb la prestigiosa «Medalla d'Honor de Sylvania». Quin percentatge exacte de ciutadans rep aquest reconeixement?

%