Examen de Estadística I UAB 2022 · Juny

Pregunta 1. Anàlisi descriptiva i relació entre variables

Es disposa d'un conjunt de dades referent a la contractació de plataformes digitals de reproducció en continu ( streaming), recollit a partir d'una enquesta a 900 llars de la província de Barcelona. S'han analitzat tres variables:

SUBS: quantitat de serveis contractats per cada família.

AGE: edat mitjana dels membres de la unitat familiar.

INCOME: ingressos nets en còmput anual expressats en euros (€).

A partir d'aquesta mostra s'han generat els següents resums descriptius i de correlació:

Correlacions

· SUBS · AGE · INCOME

SUBS · 1.0000000 · -0.3386192 · 0.7239536

AGE · -0.3386192 · 1.0000000 · -0.2369799

INCOME · 0.7239536 · -0.2369799 · 1.0000000

Atesos els resultats obtinguts, responeu:

a.

Quin és el valor promig de plataformes contractades per les famílies de la mostra? Justifiqueu la resposta indicant de quina variable es tracta i d'on s'obté la dada. [0,2 punts]

b.

A partir de quin nivell d'ingressos se situa el 50% de les famílies amb més ingressos de la mostra? Raoneu la resposta identificant la variable i la posició a la taula. [0,2 punts]

Pregunta 1. Anàlisi descriptiva i relació entre variables

Es disposa d'un conjunt de dades referent a la contractació de plataformes digitals de reproducció en continu ( streaming), recollit a partir d'una enquesta a 900 llars de la província de Barcelona. S'han analitzat tres variables:

SUBS: quantitat de serveis contractats per cada família.

AGE: edat mitjana dels membres de la unitat familiar.

INCOME: ingressos nets en còmput anual expressats en euros (€).

A partir d'aquesta mostra s'han generat els següents resums descriptius i de correlació:

Correlacions

· SUBS · AGE · INCOME

SUBS · 1.0000000 · -0.3386192 · 0.7239536

AGE · -0.3386192 · 1.0000000 · -0.2369799

INCOME · 0.7239536 · -0.2369799 · 1.0000000

Atesos els resultats obtinguts, responeu:

c.

Es pot concloure que les variables SUBS i INCOME són independents? Justifiqueu la deducció a partir de les dades. [0,3 punts]

d.

Descriviu com seria el diagrama de dispersió aproximat ( scatterplot) entre SUBS i AGE i expliqueu clarament la justificació de la vostra resposta. [0,3 punts]

En el sector de les assegurances de vehicles se sap que el risc de sinistre depèn, entre altres aspectes, dels anys d'experiència al volant. Es defineixen els esdeveniments:

$A$: «patir un accident de circulació».

$B$: «tenir una antiguitat del permís de conduir inferior a 5 anys».

Les estadístiques indiquen que la probabilitat general que un conductor pateixi un accident és $P(A) = 0{,}095$; la proporció de conductors amb menys de 5 anys d'antiguitat és $P(B) = 0{,}28$; i la probabilitat simultània que concorrin ambdues circumstàncies en un mateix conductor és $P(A \cap B) = 0{,}05$.

a.

Quina és la probabilitat que un conductor que posseeix el carnet des de fa menys de 5 anys acabi tenint un accident de circulació? [0,75 punts]

En el sector de les assegurances de vehicles se sap que el risc de sinistre depèn, entre altres aspectes, dels anys d'experiència al volant. Es defineixen els esdeveniments:

$A$: «patir un accident de circulació».

$B$: «tenir una antiguitat del permís de conduir inferior a 5 anys».

Les estadístiques indiquen que la probabilitat general que un conductor pateixi un accident és $P(A) = 0{,}095$; la proporció de conductors amb menys de 5 anys d'antiguitat és $P(B) = 0{,}28$; i la probabilitat simultània que concorrin ambdues circumstàncies en un mateix conductor és $P(A \cap B) = 0{,}05$.

b.

Quina és la probabilitat de sofrir un accident de trànsit si la persona té el carnet des de fa 5 anys o més temps? [1,25 punts]

Pregunta 3 (3 punts). Difusió de notícies falses a Twitter

A partir dels registres de l'última dècada, s'ha determinat que la quantitat de notícies falses ( fake news) que es propaguen per la xarxa Twitter és, de mitjana, de 42,9 per cada hora. Un inversor molt conegut està disposat a adquirir la plataforma amb la condició exclusiva que la probabilitat que es difongui almenys una notícia falsa en un minut escollit a l'atzar sigui estrictament inferior a 1/2.

a.

Indiqueu el model de probabilitat que descriu el nombre de fake news difoses a Twitter en un interval d'un minut i especifiqueu els seus paràmetres. [0,5 punts]

b.

D'acord amb els resultats d'aquest càlcul probabilístic, procedirà aquest inversor a la compra de Twitter? Justifiqueu la decisió. [1 punt]

c.

Posteriorment, un assessor analitza durant 60 minuts consecutius (una hora) quants d'aquests minuts registren difusió d'alguna notícia falsa. Quina distribució segueix aquesta nova variable comptadora i quins en són els paràmetres? [0,5 punts]

d.

Quin és el nombre esperat de minuts al llarg d'una hora en què es farà difusió d'alguna fake news ? Raoneu el resultat. [1 punt]

Pregunta 4 (4 punts). Distribució de l'edat dels ciutadans de Sylvania

L'edat d'un ciutadà qualsevol del país de Sylvania, representada per la variable $X$, es distribueix segons un model Normal amb esperança $\tau$ i desviació típica $\rho$, és a dir, $X \sim N(\tau, \rho^2)$.

La legislació de Sylvania fixa la jubilació obligatòria als 67 anys exactes. A la població, el $9{,}68\%$ dels habitants estan ja jubilats.

a)

Tenint en compte que l'edat legal per iniciar-se en l'activitat laboral és de 16 anys (no abans), i que la població activa en edat de treballar (aquella amb edats compreses entre els 16 i els 67 anys) suposa el $79{,}76\%$ del total dels ciutadans, quina és l'edat mitjana ($\tau$) dels sylvanis? [3 punts]

anys

b)

La Constitució del país preveu l'atorgament de la «Medalla d'Honor de Sylvania» a totes aquelles persones l'edat de les quals sigui igual o superi la mitjana de la població més tres desviacions típiques. Quin percentatge d'habitants aconsegueix aquesta condecoració? [1 punt]

%

Podeu emprar la taula de probabilitats acumulades de la cua esquerra de la Normal estàndard següent:

Probabilitats associades a la cua esquerra, $P(Z < z)$, de la distribució Normal estàndard, $N(0, 1)$

$z$

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1.0

0.8413 · 0.8438 · 0.8461 · 0.8485 · 0.8508 · 0.8531 · 0.8554 · 0.8577 · 0.8599 · 0.8621

1.1

0.8643 · 0.8665 · 0.8686 · 0.8708 · 0.8729 · 0.8749 · 0.8770 · 0.8790 · 0.8810 · 0.8830

1.2

0.8849 · 0.8869 · 0.8888 · 0.8907 · 0.8925 · 0.8944 · 0.8962 · 0.8980 · 0.8997 · 0.9015

1.3

0.9032 · 0.9049 · 0.9066 · 0.9082 · 0.9099 · 0.9115 · 0.9131 · 0.9147 · 0.9162 · 0.9177

1.4

0.9192 · 0.9207 · 0.9222 · 0.9236 · 0.9251 · 0.9265 · 0.9279 · 0.9292 · 0.9306 · 0.9319

3.0

0.9987 · 0.9987 · 0.9987 · 0.9988 · 0.9988 · 0.9989 · 0.9989 · 0.9989 · 0.9990 · 0.9990

3.1

0.9990 · 0.9991 · 0.9991 · 0.9991 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9992 · 0.9993 · 0.9993

3.2

0.9993 · 0.9993 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9994 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9995

3.3

0.9995 · 0.9995 · 0.9995 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9996 · 0.9997

3.4

0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9997 · 0.9998