Exercício 8 · Exame Nacional Matemática B 2.ª fase 2023

8. Os esquemas I e II, da Figura 9, mostram o modelo de uma das primeiras bicicletas, com as rodas assentes num solo plano e horizontal.

Com a bicicleta imobilizada, foram assinalados os pontos $A$ e $B$, sendo $A$ o ponto da roda traseira e $B$ o ponto da roda dianteira que estão em contacto com o solo e à distância de $90\text{ cm}$ um do outro, como se sugere no esquema I.

Posteriormente, a bicicleta foi posta em movimento durante $10$ segundos. Sabe-se que andou em linha reta a uma velocidade constante, que as duas rodas se mantiveram num mesmo plano vertical, e que nenhuma das rodas derrapou, nem patinou, nem rodou para trás.

No esquema II, ilustra-se uma das posições dos pontos $A$ e $B$ durante esse movimento.

Considerando que a espessura dos pneus é desprezável, admita que, $t$ segundos após a bicicleta ter sido posta em movimento, as distâncias ao solo, em centímetros, dos pontos $A$ e $B$ são dadas, respetivamente, por

$$a(t) = 20 - 20\cos\left(\frac{25\pi}{16}t\right) \quad \text{e por} \quad b(t) = 62{,}5 - 62{,}5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right), \quad \text{com } 0 \le t \le 10$$

O argumento da função cosseno está em radianos.

8.1.

Mostre que o raio da roda traseira mede $20\text{ cm}$.

8.2.

Determine a distância entre os pontos $A$ e $B$ oito segundos após a bicicleta ter sido posta em movimento.

Na sua resposta, apresente o resultado em centímetros, arredondado às unidades.

cm