Exercício 10 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2023

Há formigas que, tendo saído do seu formigueiro, têm a percepção da distância horizontal a que estão do formigueiro, mesmo que no exterior tenham executado percursos complexos com subidas e descidas.

Uma formiga sobe por uma maçã, a partir do solo. Admita que a maçã é uma esfera, que a formiga é um ponto e que o percurso da formiga na superfície esférica é um arco de um círculo máximo da esfera, contido num plano vertical que passa pela entrada do formigueiro.

A situação está representada na Figura 8, que não está à escala.

Nesta figura:

a reta $FO$ representa o solo, horizontal, sendo $F$ a entrada do formigueiro e $O$ o ponto de tangência da maçã com o solo, com $\overline{FO} = 40\text{ cm}$;

a circunferência, de centro $C$, que passa em $O$ e tem diâmetro $7{,}2\text{ cm}$, representa o círculo máximo;

o ponto $A$, pertencente à circunferência, representa a posição da formiga depois de percorrer a distância de $3{,}77\text{ cm}$, correspondente ao comprimento do arco $OA$;

o ponto $P$ é a projeção ortogonal de $A$ sobre $FO$.

Determine a distância horizontal, $\overline{FP}$, a que a formiga está do formigueiro.

Apresente o resultado em centímetros, arredondado às unidades.

Em cálculos intermédios, sempre que proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.