Sujet du Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) 2026 · Sujets zéro et spécimens Sujet 2

Question 1.

On considère l'arbre de probabilité ci-contre.

On cherche la probabilité de l'évènement $B$.

On a

Question 2.

Une tablette coûte 200 euros. Son prix diminue de 30 %. Le prix après cette diminution est:

Question 3.

Une réduction de 50 % suivie d'une augmentation de 50 % équivaut à:

Question 4.

Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, parmi eux, la moitié sont des filles.

La proportion des filles internes par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à:

Question 5.

On considère le nombre $N = \dfrac{10^7}{5^2}$. On a:

.

Question 6.

Un appareil a besoin d'une énergie de $7{,}5 \times 10^6$ Joules (J) pour se mettre en route.

À combien de kiloWatts-heure (kWh) cela correspond-il ?

Données: $1\text{ kWh} = 3{,}6 \times 10^6\text{ J}$.

.

Question 7.

Le plan est muni d'un repère orthogonal. On note $d$ la droite passant par les points $A(0\;; -1)$ et $B(2\;; 5)$.

Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à:

.

Question 8.

On a représenté ci-contre une droite $D$.

Parmi les quatre équations ci-dessous, la seule susceptible de représenter la droite $D$ est:

.

Question 9.

On note $\mathcal{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 10$ sur $\mathbb{R}$. On a:

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3x - 15)(x + 2)$ admet pour tableau de signes:

L'expression développée de $(2x + 0,5)^2$ est:

Lorsqu'un point mobile suit une trajectoire circulaire de rayon $R$, en mètre (m), son accélération centripète $a$ (en m/s$^2$) s'exprime en fonction de la vitesse $v$ (en m/s) de la manière suivante:

$$a = \frac{v^2}{R}$$

L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer la vitesse $v$ est:

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

En 2020, une ville comptait 10 000 habitants.

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi:

$$\begin{cases} u_{n+1} = 1{,}08u_n - 300, & n \in \mathbb{N} \\ u_0 = 10\,000 \end{cases}$$

où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020+n$.

1.

Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.

2.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3750$.

a.

Déterminer $v_0$.

b.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1{,}08v_n$.

c.

En déduire la nature de la suite $(v_n)$.

d.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

e.

En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 6250 \times 1{,}08^n + 3750$.

3.

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2:

= 6250*1,08^A2 + 3750

A

B

1 · n · Un

2 · 0 · 10000

3 · 1 · 10500

4 · 2 · 11040

5 · 3 · 11623,2

6 · 4 · 12253,056

7 · 5 · 12933,30048

8 · 6 · 13667,96452

9 · 7 · 14461,40168

10 · 8 · 15318,31381

11 · 9 · 16243,77892

12 · 10 · 17243,28123

13 · 11 · 18322,74373

14 · 12 · 19488,56323

15 · 13 · 20747,64829

16 · 14 · 22107,46015

17 · 15 · 23576,05696

18 · 16 · 25162,14152

19 · 17 · 26875,11284

20 · 18 · 28725,12187

21 · 19 · 30723,13162

La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra 19 000 habitants.

La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.

Aide au calcul:

$10\,000 - 3\,750 = 6\,250$;

$1{,}08 \times 4\,050 = 4\,374$;

$\dfrac{4\,050}{1{,}08} = 3\,750$;

$3\,750 \times 1{,}08 = 4\,050$.

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Partie A

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ par:

$$P(x) = 2x^2 + x - 10$$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$.

La tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse 2 est horizontale.

Partie A

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ par:

$$P(x) = 2x^2 + x - 10$$

1. a.

Déterminer les racines de $P$.

1. b.

En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation $y = P(x)$.

2.

Établir le tableau de signe de la fonction $P$ sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$.

$x$

$-5$

$-\frac{5}{2}$

$2$

$3$

Signe de $P(x)$

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Partie A

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ par:

$$P(x) = 2x^2 + x - 10$$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$.

La tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse 2 est horizontale.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $2$ est horizontale.

1.

Donner la valeur du nombre dérivé $f'(2)$.

2.

Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f'(x) < 0$.

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

Partie A

On considère la fonction $P$ définie sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ par:

$$P(x) = 2x^2 + x - 10$$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5\,;\,3]$ dont on donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$.

La tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse 2 est horizontale.

3.

On sait que la fonction $f$ a pour expression sur l'intervalle $[-5\; 3]$:

$$f(x) = (4x^2 - 14x + 8)\text{e}^{0,5x}$$

Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-5\; 3]$, on a

$$f'(x) = P(x)\text{e}^{0,5x}$$

4.

En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5\; 3]$. (Il n'est pas demandé de calculer les images).

$x$

$-5$

$-2{,}5$

$2$

$3$

Signe de $f'(x)$

$0$

$0$

Variation de $f$