Exercice 1 · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) Sujets zéro et spécimens sujet 2026 (sujet 2)

DEUXIÈME PARTIE

Exercice 1

En 2020, une ville comptait 10 000 habitants.

On modélise l'évolution du nombre d'habitants de cette ville par la suite $(u_n)$ définie ainsi:

$$\begin{cases} u_{n+1} = 1{,}08u_n - 300, & n \in \mathbb{N} \\ u_0 = 10\,000 \end{cases}$$

où $u_n$ représente le nombre d'habitants pour l'année $2020+n$.

1.

Indiquer ce que représente $u_1$ et calculer sa valeur.

2.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 3750$.

a.

Déterminer $v_0$.

b.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 1{,}08v_n$.

c.

En déduire la nature de la suite $(v_n)$.

d.

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

e.

En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 6250 \times 1{,}08^n + 3750$.

3.

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, a été obtenu par recopie vers le bas après avoir saisi la formule suivante dans la cellule B2:

= 6250*1,08^A2 + 3750

A

B

1 · n · Un

2 · 0 · 10000

3 · 1 · 10500

4 · 2 · 11040

5 · 3 · 11623,2

6 · 4 · 12253,056

7 · 5 · 12933,30048

8 · 6 · 13667,96452

9 · 7 · 14461,40168

10 · 8 · 15318,31381

11 · 9 · 16243,77892

12 · 10 · 17243,28123

13 · 11 · 18322,74373

14 · 12 · 19488,56323

15 · 13 · 20747,64829

16 · 14 · 22107,46015

17 · 15 · 23576,05696

18 · 16 · 25162,14152

19 · 17 · 26875,11284

20 · 18 · 28725,12187

21 · 19 · 30723,13162

La municipalité envisage d'ouvrir une nouvelle école maternelle dès que la population atteindra 19 000 habitants.

La construction d'un tel établissement nécessitant deux ans, déterminer l'année à partir de laquelle la construction de l'école doit commencer.

Aide au calcul:

$10\,000 - 3\,750 = 6\,250$;

$1{,}08 \times 4\,050 = 4\,374$;

$\dfrac{4\,050}{1{,}08} = 3\,750$;

$3\,750 \times 1{,}08 = 4\,050$.