Exercice 4 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2)

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.

Réponse : $-\infty$

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

Réponse : $1$

1. En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_f$.

Réponse : Asymptote verticale d'équation $x = 0$ et asymptote horizontale d'équation $y = 1$

2. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$, on a : $f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$.

Réponse : $f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \times x^2 - \ln(x) \times 2x}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x\ln(x)}{x^4} = \frac{x(1 - 2\ln(x))}{x^4} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$

3. Valeur exacte annulant $f'(x)$

Réponse : $\sqrt{e}$

3. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

Réponse : $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\,\sqrt{e}[$ et strictement décroissante sur $[\sqrt{e}\,;\,+\infty[$, avec pour maximum $f(\sqrt{e}) = 1 + \frac{1}{2e} \approx 1{,}184$

4. a. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

Réponse : $f$ est continue et strictement croissante sur $]0\,;\,\sqrt{e}]$, avec $\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty < 0$ et $f(\sqrt{e}) = 1 + \frac{1}{2e} > 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire), l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;\,\sqrt{e}[$. Sur $[\sqrt{e}\,;\,+\infty[$, $f$ est décroissante et tend vers 1, donc $f(x) \ge 1$, l'équation n'a pas de solution. Ainsi, il existe une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

4. b. Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$.

Réponse : $0{,}65 < \alpha < 0{,}66$

4. c. En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

Réponse : $f(x) < 0$ sur $]0\,;\,\alpha[$, $f(\alpha) = 0$, et $f(x) > 0$ sur $]\alpha\,;\,+\infty[$

5. a. Exprimer la quantité $OM^2$ en fonction du réel $x$.

Réponse : $x^2 + \ln^2(x)$

5. b. Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$, la quantité $OM^2$ admet un minimum en $\alpha$.

Réponse : Posons $h(x) = OM^2 = x^2 + \ln^2(x)$. On a $h'(x) = 2x + 2 \times \frac{1}{x} \times \ln(x) = 2x\left(1 + \frac{\ln(x)}{x^2}\right) = 2xf(x)$. Comme $x > 0$, $h'(x)$ est du signe de $f(x)$ : négative sur $]0\,;\,\alpha[$ puis positive sur $]\alpha\,;\,+\infty[$. $h$ est donc décroissante puis croissante, elle admet donc un minimum en $\alpha$.

5. c. Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$.

Réponse : $\alpha\sqrt{1 + \alpha^2}$