Exercice 4 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 1)

EXERCICE 4 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$ par:

$$f(x) = 5x^2 + 2x - 2x^2 \ln(x)$$

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

1. a.

Démontrer que la limite de la fonction $f$ en 0 est égale à 0.

1. b.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

2.

Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$.

3. a.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$:

$$f''(x) = 4(1 - \ln(x))$$

3. b.

En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.

3. c.

Dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

(On admettra que $\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f'(x) = 2$ et que $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = -\infty$.)

4. a.

Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet dans l'intervalle $]0; +\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.

$<$

$\alpha$

$<$

4. b.

En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

5. a.

En utilisant l'égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que:

$$\ln(\alpha) = \frac{4\alpha + 1}{2\alpha}$$

En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2 + \alpha$.

5. b.

En déduire un encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.

$<$

$f(\alpha)$

$<$