Exercice 2 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 2)

Principaux domaines abordés:

Fonctions, Fonction logarithme.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:

$$f(x) = x \ln (x) - x - 2$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

1. a.

Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0\,;\,+\infty[$, on a $f'(x) = \ln(x)$.

1. b.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = \mathrm{e}$.

$y =$

1. c.

Justifier que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

1. d.

En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.