Exercice 2 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 2)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 2 (2023)

Énoncé

EXERCICE 2 (5 points)

On considère la fonction ff, définie sur [0  ;+∞[[0\;; +\infty[ par:

f(x)=xe−x.f(x) = x\mathrm{e}^{-x}.

On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que ff est deux fois dérivable sur [0  ;+∞[[0\;; +\infty[.

On note f′f' sa dérivée et f′′f'' sa dérivée seconde.

2.

Démontrer que pour tout réel xx appartenant à [0;+∞[[0; +\infty[:f′(x)=(1−x)e−x.f'(x) = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}.

3.

Dresser le tableau de variations de ff sur [0;+∞[[0; +\infty[, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l'extremum.

4.

Déterminer, sur l'intervalle [0;+∞[[0; +\infty[, le nombre de solutions de l'équation:f(x)=3671000.f(x) = \frac{367}{1000}.

5.

On admet que pour tout xx appartenant à [0;+∞[[0; +\infty[:f′′(x)=e−x(x−2).f''(x) = \mathrm{e}^{-x}(x - 2).Étudier la convexité de la fonction ff sur l'intervalle [0;+∞[[0; +\infty[.

6.

Soit aa un réel appartenant à [0;+∞[[0; +\infty[ et AA le point de la courbe Cf\mathcal{C}_f d'abscisse aa. On note TaT_a la tangente à Cf\mathcal{C}_f en AA. On note HaH_a le point d'intersection de la droite TaT_a et de l'axe des ordonnées. On note g(a)g(a) l'ordonnée de HaH_a.

La situation est représentée sur la figure ci-contre:

a.

Démontrer qu'une équation réduite de la tangente TaT_a est:y=((1−a)e−a)⋅x+a2e−a.y = ((1 - a)\mathrm{e}^{-a}) \cdot x + a^2\mathrm{e}^{-a}.

b.

En déduire l'expression de g(a)g(a).

c.

Démontrer que g(a)g(a) est maximum lorsque AA est un point d'inflexion de la courbe Cf\mathcal{C}_f.

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Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

2. Démontrer que pour tout réel xx appartenant à [0;+∞[[0 ; +\infty[ : f′(x)=(1−x)e−xf'(x) = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}

Réponse : f(x)=u(x)v(x)f(x) = u(x)v(x) avec u(x)=xu(x) = x et v(x)=e−xv(x) = \mathrm{e}^{-x}. u′(x)=1u'(x) = 1 et v′(x)=−e−xv'(x) = -\mathrm{e}^{-x}. f′(x)=1⋅e−x+x⋅(−e−x)=(1−x)e−xf'(x) = 1 \cdot \mathrm{e}^{-x} + x \cdot (-\mathrm{e}^{-x}) = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}.

3. Valeur exacte de l'extremum de ff

Réponse : e−1\mathrm{e}^{-1} / 1e\frac{1}{\mathrm{e}}

3. Dresser le tableau de variations de ff sur [0;+∞[[0 ; +\infty[

Réponse : Sur [0;1][0 ; 1], f′(x)≥0f'(x) \ge 0, donc ff est strictement croissante de f(0)=0f(0) = 0 à f(1)=e−1f(1) = \mathrm{e}^{-1}. Sur [1;+∞[[1 ; +\infty[, f′(x)≤0f'(x) \le 0, donc ff est strictement décroissante de f(1)=e−1f(1) = \mathrm{e}^{-1} à sa limite en +∞+\infty qui vaut 00.

4. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=3671000f(x) = \frac{367}{1000}

Réponse : 2

4. Justification du nombre de solutions

Réponse : On a 3671000=0,367\frac{367}{1000} = 0{,}367 et e−1≈0,36788\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}36788, donc 0<0,367<e−10 < 0{,}367 < \mathrm{e}^{-1}. - Sur [0;1][0 ; 1], ff est continue et strictement croissante de 00 à e−1\mathrm{e}^{-1}. D'après le corollaire du TVI, l'équation admet une unique solution α∈[0;1]\alpha \in [0 ; 1]. - Sur [1;+∞[[1 ; +\infty[, ff est continue et strictement décroissante de e−1\mathrm{e}^{-1} à 00. D'après le corollaire du TVI, l'équation admet une unique solution β∈[1;+∞[\beta \in [1 ; +\infty[. L'équation admet donc exactement deux solutions sur [0;+∞[[0 ; +\infty[.

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