Exercice 1 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 1)

EXERCICE 1 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Fonctions, Fonction logarithme;

Convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par

$$f(x) = x^2 - 6x + 4\ln(x).$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

2. a.

Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.

2. b.

Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$. En déduire le tableau de variations de $f$.

3.

Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[4; 5]$.

4. On admet que, pour tout $x$ de $]0; +\infty[$, on a: $$f''(x) = \frac{2x^2 - 4}{x^2}$$

4. a.

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$. On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

4. b.

On note $A$ le point de coordonnées $(\sqrt{2}; f(\sqrt{2}))$.

Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t \neq \sqrt{2}$.

Soit $M$ le point de coordonnées $(t; f(t))$.

En utilisant la question 4.a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.