Exercice 3 - Partie A · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Exercice 3 (6 points)

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0\;; 1]$ par:

$$f_n(x) = x^n \mathrm{e}^{1-x}.$$

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur l'intervalle $[0\;; 1]$ et on note $f'_n$ sa fonction dérivée.

Partie A

Dans cette partie on étudie le cas où $n = 1$.

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ par: $$f_1(x) = x\mathrm{e}^{1-x}.$$

1.

Montrer que $f'_1(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\,1[$.

2.

En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $[0\,;\,1]$.

3.

En déduire que l'équation $f_1(x) = 0{,}1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0\,;\,1]$.