Sujet du Bac STMG Épreuve anticipée de mathématiques 2026 · Métropole Septembre

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 1)^2 - 8$.

La forme développée de l'expression $f(x)$ est:

Le prix de revente d'un véhicule neuf a baissé de 20 % la première année puis de 10 % la deuxième année.

En deux ans, le prix de ce véhicule a:

On donne ci-contre la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-6; 7]$.

On considère l'équation $f(x) = 0$.

On peut affirmer que:

Soit $(d)$ la droite représentée dans le repère orthonormé ci-dessous.

L'équation réduite de la droite $(d)$ est:

Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des hébergements collectifs de tourisme depuis 2013.

L'année où le nombre de nuitées en camping a été le plus faible est:

On considère le nombre $N = 0{,}026 \times 10^{-3}$.

$N$ est égal à:

Dans un repère orthonormé on considère les points $A(5\,;\, 15)$ et $B(7\,;\, -5)$. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est:

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x + 3$. Son tableau de signes est:

A

B

C

D

On souhaite exprimer $F = \dfrac{1}{2 + \dfrac{5}{6}}$ sous la forme d'une fraction irréductible.

On considère l'équation suivante: $(3x + 1)(x - 5) = 0$.

Soit $S$ l'ensemble des solutions de cette équation.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-5\,;\,5]$. On donne ci-contre, dans un repère orthonormé, la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$ est:

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5\,;\,6]$ et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.

Le tableau de variations de la fonction $f$ est:

Exercice 1 (5 points)

Une maladie contagieuse se répand chez les bovins.

Afin de détecter cette maladie, un laboratoire élabore un test de dépistage.

Les essais de ce test sur un groupe témoin de 1 000 bovins sont résumés dans le tableau suivant:

Test positif à la maladie

Test négatif à la maladie

Total

Malade

180

20

200

Non malade

45

755

800

Total

225

775

1 000

On choisit au hasard un bovin ayant participé à l'essai et on note:

$M$ l'évènement « le bovin est malade »;

$T$ l'évènement « le test est positif ».

On exprimera tous les résultats sous forme décimale.

1.

Montrer que la probabilité de l'évènement $M$ est 0,2.

$P(M) =$

$= 0{,}2$

2.

Décrire par une phrase l'évènement $M \cap T$, puis calculer la probabilité de cet évènement.

Aide au calcul: $225 = 5 \times 45$

3.

Calculer la probabilité $P_M(T)$.

4.

Un test est dit fiable si la probabilité de ne pas être atteint par la maladie sachant que le test est positif est inférieure ou égale à 0,15.

En se basant sur les résultats de cet essai, le test du laboratoire est-il fiable ? Justifier la réponse.

5.

À présent, on choisit deux bovins parmi ceux ayant participé à l'essai. Le nombre de bovins est suffisamment grand pour considérer cette expérience comme un tirage avec remise. On souhaite déterminer la probabilité de l'évènement $A$: « les deux bovins sont malades ».

a.

Représenter la situation par un arbre pondéré.

b.

En déduire la probabilité de l'évènement $A$.

Exercice 2 (5 points)

Partie A

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = (12x - 480)(x - 10)$.

Aide au calcul: $480 = 40 \times 12$

Établir le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B

On s'intéresse dans cette partie à une usine qui fabrique des tracteurs. Chaque mois elle en vend entre $0$ et $18$. On note $x$ le nombre de tracteurs vendus par mois.

On modélise alors le bénéfice de cette entreprise, en centaines d'euros, par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0; 18]$ par

$$B(x) = 4x^3 - 300x^2 + 4800x - 10000.$$

1.

Calculer $B(0)$.

2.

On donne $B(18) = 2528$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. a.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; 18]$, calculer $B'(x)$ puis montrer que $B'(x) = f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

3. b.

En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0; 18]$.

3. c.

À l'aide du tableau de variations, déterminer combien de tracteurs l'entreprise doit produire et vendre afin d'obtenir un bénéfice maximal. Quelle sera la valeur de ce bénéfice maximal ?

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

1.

On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r = 5$ et telle que $u_5 = 10$.

Affirmation: $u_7 = 250$.

Vraie

Fausse

2.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2n^2 + 1$.

Affirmation: la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.

Vraie

Fausse

4.

Avec la chaleur et la surpêche, une association de pêcheurs constate chaque année que le nombre de truites présentes dans l'étang de leur commune diminue de $15\,\%$. À partir de 2024, pour enrayer ce phénomène, ils décident de réintroduire chaque année $100$ truites dans l'étang. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de truites en $2024 + n$.

Affirmation: pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}15u_n + 100$.

Vraie

Fausse

Exercice 3 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

3.

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 5x^2 - 2x + 3$.

Affirmation: une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est donnée par:

$$y = 8x - 2.$$