Exercice 2 · Bac STMG Épreuve anticipée de mathématiques Métropole Septembre 2026

Exercice 2 (5 points)

Partie A

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = (12x - 480)(x - 10)$.

Aide au calcul: $480 = 40 \times 12$

Établir le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B

On s'intéresse dans cette partie à une usine qui fabrique des tracteurs. Chaque mois elle en vend entre $0$ et $18$. On note $x$ le nombre de tracteurs vendus par mois.

On modélise alors le bénéfice de cette entreprise, en centaines d'euros, par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0; 18]$ par

$$B(x) = 4x^3 - 300x^2 + 4800x - 10000.$$

1.

Calculer $B(0)$.

2.

On donne $B(18) = 2528$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. a.

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; 18]$, calculer $B'(x)$ puis montrer que $B'(x) = f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

3. b.

En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0; 18]$.

3. c.

À l'aide du tableau de variations, déterminer combien de tracteurs l'entreprise doit produire et vendre afin d'obtenir un bénéfice maximal. Quelle sera la valeur de ce bénéfice maximal ?