Exercice 3 - Question 5 · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole 2022

Thème : Fonction logarithme népérien · Tiré du sujet Métropole France (2022)

Énoncé

Question 5

Soit gg la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par:

g(x)=12x2−ln⁡(x).g(x) = \frac{1}{2} x^2 - \ln(x).

1.

On admet que gg est dérivable sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et on note g′g' sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel xx de l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[,

g′(x)=(x−1)(x+1)x.g'(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x}.

2.

Montrer que la fonction gg admet un minimum, dont on précisera la valeur exacte, sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +∞[, g'(x) = ((x-1)(x+1))/x.

Réponse : g′(x)=(x−1)(x+1)xg'(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x}

2. Valeur de x où le minimum est atteint :

Réponse : 1

2. Valeur exacte du minimum :

Réponse : 1/2

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