Exercice 3 - Question 2 · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole Candidat libre 2021

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0{,}5\;\ 10]$ par: $f(x) = x^2 - x - 2 - 3\ln(x)$ .

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .

Montrer que $f'(x) = \dfrac{(x + 1)(2x - 3)}{x}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0{,}5\;\ 10]$ .

Montrer que $f$ admet un minimum sur l'intervalle $[0{,}5\;\ 10]$ et préciser la valeur exacte de ce minimum.

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Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

a. Montrer que $f'(x) = \frac{(x+1)(2x-3)}{x}$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0{,}5\ ;\ 10]$ .

Réponse : $f'(x) = 2x - 1 - \frac{3}{x} = \frac{2x^2 - x - 3}{x} = \frac{(x+1)(2x-3)}{x}$

b. Valeur de $x$ où le minimum est atteint :

Réponse : $\frac{3}{2}$ / $1{,}5$

b. Préciser la valeur exacte de ce minimum :

Réponse : $-\frac{5}{4} + 3\ln\left(\frac{2}{3}\right)$ / $-\frac{5}{4} - 3\ln\left(\frac{3}{2}\right)$

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