Exercice 3 · Bac Physique-Chimie Métropole 2026 (sujet 2)

Exercice 3 – Le satellite TESS (5,5 points)

Les exoplanètes sont des planètes en orbite autour d'une étoile autre que le Soleil. Les physiciens Michel Mayor et Didier Queloz ont reçu en 2019 le prix Nobel de physique pour la première détection d'une exoplanète.

Le satellite TESS « Transiting Exoplanet Survey Satellite » est à la recherche de nouvelles exoplanètes depuis le 18 avril 2018. En juillet 2019, le satellite TESS a permis la découverte du système planétaire « TOI 270 », composé entre autres de deux exoplanètes, que l'on appellera exoplanète 1 et exoplanète 2, en orbite autour de l'étoile E.

L'objectif de cet exercice est d'étudier le système planétaire « TOI 270 » pour lequel on supposera que les mouvements des exoplanètes 1 et 2 autour de l'étoile E sont circulaires uniformes. L'interaction entre les deux exoplanètes est négligée.

Données:

Constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$;

Approximations dans le cas de petits angles ($\alpha \ll 1\text{ rad}$): $\sin\alpha = \alpha$; $\tan\alpha = \alpha$.

Objet

Étoile E

Exoplanète 1

Exoplanète 2

Rayon de l'orbite autour de E en km

$R_1 = 6{,}77\times 10^6$

$R_2 = 1{,}08\times 10^7$

Période de révolution autour de E en jours terrestres

$T_1$

$T_2 = 11{,}4$

Rayon de l'objet en km

$r_E = 2{,}63\times 10^5$

$r_1$

Masse de l'objet en kg

$M_E = 7{,}68\times 10^{29}$

$M_2$

1. Étude du système « TOI 270 »

On étudie le mouvement de l'exoplanète 2, de masse $M_2$, en orbite circulaire autour de l'étoile E. L'étude est conduite dans un référentiel dont l'origine est prise au centre de l'étoile E et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines; il est supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $(\text{P}, \vec{u}_T, \vec{u}_N)$.

Q1.

Exprimer la force d'attraction gravitationnelle, notée $\vec{F}$, exercée par l'étoile E sur l'exoplanète 2, en fonction de $M_2$, $M_E$, $G$, $R_2$ et $\vec{u}_N$.

Q2.

En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l'expression de la vitesse $v_2$ de l'exoplanète 2 en fonction de $G$, $M_E$ et $R_2$.

Q3.

Établir que la masse $M_E$ de l'étoile est donnée par la relation $M_E = \frac{4\pi^2\cdot R_2^3}{G\cdot T_2^2}$.

Q4.

Vérifier que la valeur de la masse $M_E$ déduite de cette relation est voisine de celle indiquée dans le tableau de données.

Q5.

En utilisant la troisième loi de Kepler et les données $R_1$, $R_2$ et $T_2$ relatives aux exoplanètes, déterminer la valeur de la période $T_1$ exprimée en jours terrestres.

2. Mesure expérimentale de la période de révolution $T_1$ de l'exoplanète 1

Le satellite TESS utilise une caméra pour détecter des exoplanètes. Lorsqu'une exoplanète passe entre l'étoile et la caméra, la puissance lumineuse reçue par la caméra diminue. Ce phénomène est appelé transit planétaire et indique la présence d'une exoplanète en orbite autour de l'étoile pointée par la caméra.

On se propose de déterminer la valeur de la période $T_1$ de révolution de l'exoplanète 1 autour de l'étoile E en exploitant les relevés envoyés par le satellite TESS. Lors du transit de l'exoplanète 1 devant l'étoile E (schématisé sur la figure 2), on mesure la puissance lumineuse relative $P_{\text{lum}}$ reçue par la caméra en fonction du temps (figure 3). L'origine des dates ($t = 0$) est prise au milieu du transit.

On admet que le rayon $r_1$ de l'exoplanète 1, le rayon $r_E$ de l'étoile E et la diminution $\Delta P_{\text{lum}}$ de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra pendant le transit de l'exoplanète 1 vérifient la relation suivante:

$$\Delta P_{\text{lum}} = \left(\frac{r_1}{r_E}\right)^2$$

Q6.

Indiquer qualitativement l'influence de la taille de l'exoplanète sur la diminution $\Delta P_{\text{lum}}$ de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra au cours d'un transit.

Q7.

Vérifier que le rayon $r_1$ de l'exoplanète 1 vaut environ $1,7\times 10^4\text{ km}$.

Q8.

En utilisant les figures 2 et 3, et sachant que l'angle $\alpha$ est très petit devant 1 rad, estimer la valeur de la période $T_1$ de révolution de l'exoplanète 1 que l'on peut déduire des observations. Commenter.