Exercice 1 - Parties 1 et 2 : Décollage et mise e… · Bac Physique-Chimie Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1)

EXERCICE 1: MISSIONS SUR LA LUNE

L’année 2019 a marqué le 50 e anniversaire de la mission Apollo 11. En effet, le 20 juillet 1969, l’Homme marche pour la première fois sur la Lune.

Le but de cet exercice est d’étudier différents aspects des missions Apollo 11 et 16: le décollage depuis la Terre, la mise en orbite autour de la Lune et une expérience de détermination de la valeur de l’intensité de la pesanteur lunaire.

Données:

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$;

masse de la Terre: $M_{\text{T}} = 5{,}97 \times 10^{24}\text{ kg}$;

masse de la Lune: $M_{\text{L}} = 7{,}34 \times 10^{22}\text{ kg}$;

masse du vaisseau Apollo 11 avec son module lunaire: $m_1 = 4{,}50 \times 10^4\text{ kg}$;

rayon de la Terre: $R_{\text{T}} = 6{,}37 \times 10^3\text{ km}$;

rayon de la Lune: $R_{\text{L}} = 1{,}73 \times 10^3\text{ km}$;

intensité de pesanteur terrestre: $g_{\text{T}} = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

1. Décollage depuis la Terre de la mission Apollo 11

La fusée Saturn V est composée de trois étages contenant du carburant. Lorsqu'ils sont vides, ces étages se décrochent au fur et à mesure de la progression de la fusée.

Le 16 juillet 1969, la fusée Saturn V décolle de cap Canaveral en Floride en emportant l'équipage et le vaisseau Apollo 11 sur lequel est fixé un module lunaire. Elle met en orbite le vaisseau Apollo 11 qui effectue alors 1,5 tour autour de la Terre, afin de permettre la vérification de tous les paramètres du vol. Le vaisseau Apollo 11 est ensuite transféré sur une nouvelle trajectoire grâce au dernier étage de la fusée, qui va le mener à proximité de la Lune.

Pour toute cette partie, l'étude est effectuée dans le référentiel géocentrique dont l'origine est le centre de la Terre et dont les axes pointent vers des étoiles fixes; le référentiel est supposé galiléen. La valeur de la vitesse du vaisseau Apollo 11 sur son orbite supposée circulaire de rayon $6{,}56\times 10^3\text{ km}$ vaut $v_h = 7{,}79\times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

1.1.

Calculer la valeur de la durée passée en orbite terrestre par l'équipage dans le vaisseau Apollo 11.

1.2.

La valeur de l'énergie potentielle de pesanteur du vaisseau Apollo 11 en orbite terrestre est $E_p = -2{,}74\times 10^{12}\text{ J}$, l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur étant prise nulle à grande distance de la Terre.

1.2.1.

Calculer la valeur de l'énergie cinétique $E_c$ du vaisseau en orbite terrestre.

1.2.2.

En déduire la valeur de l'énergie mécanique $E_m$ du vaisseau en orbite terrestre.

1.3.

La valeur de l'énergie mécanique $E_{m0}$ du vaisseau Apollo 11 avant le décollage est: $E_{m0} = -2{,}81\times 10^{12}\text{ J}$.

1.3.1.

Déterminer l'énergie minimale que doit fournir Saturn V pour mettre en orbite terrestre le vaisseau Apollo 11. Conclure, sachant que la fusée Saturn V est un lanceur qui a la capacité de fournir une énergie de l'ordre de $5\times 10^{12}\text{ J}$ pour mettre un corps en orbite autour de la Terre.

1.3.2.

Expliquer pourquoi l'énergie cinétique du vaisseau avant le décollage n'est pas nulle dans le référentiel géocentrique.

2. Michael Collins en orbite autour de la Lune lors de la mission Apollo 11

Le vaisseau Apollo 11 se trouve au voisinage de la Lune à une altitude $h_L = 110\text{ km}$ par rapport au sol lunaire. À cet instant, le module lunaire se détache du vaisseau emportant à son bord les deux astronautes Buzz Aldrin et Neil Armstrong vers le sol lunaire. Le troisième astronaute Michael Collins reste seul en orbite dans le vaisseau qui est animé d'un mouvement supposé circulaire uniforme dans le référentiel d'étude centré sur la Lune et supposé galiléen. Libéré de son module, le vaisseau possède alors une masse $m_2$ qui n'est plus que de $3{,}0\times 10^4\text{ kg}$ environ.

Les deux astronautes restent 21 h et 36 min sur le sol lunaire.

On note $\vec{n}$ un vecteur unitaire choisi dans la direction vaisseau – centre de la Lune et dans le sens du vaisseau Apollo 11 vers la Lune (cf. figure 1). On considère que le vaisseau n'est soumis qu'à l'attraction de la Lune.

2.1.

En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'expression du vecteur accélération $\vec{a}$ du vaisseau Apollo 11 à l'altitude $h_L$ dans le référentiel d'étude.

2.2.

Montrer que la norme de la vitesse $v$ du vaisseau Apollo 11 à l'altitude $h_L$ a pour expression:

$$v = \sqrt{\frac{GM_L}{(R_L + h_L)}}$$

2.3.

Calculer la valeur de la période de révolution $T$ du vaisseau Apollo 11, puis déterminer celle du nombre de tours autour de la Lune qu'a fait l'astronaute Michael Collins pendant le séjour des deux autres astronautes sur la Lune.