Exercice 1 - Détermination de la masse de Mars · Bac Physique-Chimie Métropole 2022 (sujet 2)

EXERCICE I commun à tous les candidats (10 points)

OBSERVATION DE LA PLANÈTE MARS

La planète Mars est une planète du système solaire au cœur de multiples projets scientifiques internationaux destinés à mieux connaitre son sol et son histoire.

Les objectifs de l'exercice sont de déterminer quelques caractéristiques de la planète Mars à partir:

de la mesure de l'angle sous lequel elle est vue par un observateur terrestre;

de l'observation de Phobos, l'un de ses satellites naturels.

Données:

angle $\theta$, exprimé en radian, sous lequel la planète Mars est vue par un observateur terrestre:

on se place dans le cadre de l'approximation des petits angles ($\theta \ll 1\text{ rad}$): $\tan(\theta) \approx \theta$ avec $\theta$ en rad;

la distance Terre-Mars, notée $D$, étant suffisamment grande devant le diamètre de Mars, noté $d_{\text{M}}$, l'angle $\theta$ (en rad) a pour expression:$$\theta \approx \frac{d_{\text{M}}}{D}$$

pouvoir séparateur de l'œil humain: il correspond à l'angle minimal, noté $\varepsilon$, au-dessus duquel l'œil humain peut différencier deux points. Il a pour valeur $\varepsilon = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}$;

constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$;

diamètre moyen de référence de la planète Mars: $d_{\text{ref}} = 6{,}78 \times 10^3\text{ km}$;

rayon de l'orbite, supposée circulaire, de Mars autour du Soleil: $r_{\text{SM}} = 2{,}28 \times 10^8\text{ km}$;

masse de la Terre: $M_{\text{T}} = 5{,}97 \times 10^{24}\text{ kg}$.

3. Détermination de la masse de Mars

La planète Mars, que l'on peut assimiler à une sphère de diamètre $d_M$, possède une masse $M_M$ environ dix fois moins grande que celle de la Terre.

La masse $M_M$ de Mars peut être déterminée par l'observation de Phobos, l'un de ses satellites naturels de la planète et par l'utilisation des lois de Newton.

Ce satellite:

a une période de révolution $T$ de 7 h 39 min autour de Mars;

possède une trajectoire quasi-circulaire autour de Mars de rayon $r_{MP} = 9{,}38 \times 10^3\text{ km}$;

n'est soumis qu'à la seule force de gravitation de Mars.

Q10.

En utilisant une loi de Newton, établir que l'expression de la vitesse de Phobos sur son orbite circulaire autour de Mars est: $$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_M}{r_{MP}}}$$

Q11.

Déterminer la valeur de la masse $M_M$ de Mars. Commenter.