Sujet du Bac Physique-Chimie 2026 · Métropole 2

Exercice 1 – Le kéfir de fruit (9 points)

Le kéfir de fruit est une boisson fermentée, naturellement pétillante et peu sucrée, obtenue par la fermentation à l’aide de grains de kéfir. Ces grains sont constitués de levures et de bactéries, micro-organismes responsables du processus de fermentation.

L’objectif de cet exercice est d’étudier différents paramètres de la préparation du kéfir susceptibles d’influencer ses caractéristiques gustatives, en particulier les paramètres liés à la fermentation.

On peut trouver sur internet une recette permettant de produire 1 litre de kéfir de fruit:

ingrédients: 20 g de grains de kéfir;

20 g de sucre;

2 tranches de citron;

1 figue sèche;

quantité suffisante d’eau du robinet pour obtenir 1 L de boisson;

recette: introduire tous les ingrédients dans un grand bocal fermé;

laisser fermenter à température ambiante dans un endroit sec, à l’abri de la lumière, durant au moins 24 h.

1. Détermination de la concentration des ions chlorure présents dans l'eau du robinet

La teneur en ions chlorure de l'eau du robinet doit être contrôlée car une concentration trop élevée détruit les bactéries, empêchant ainsi les transformations chimiques qui se produisent lors de la fermentation.

On réalise le titrage par conductimétrie d'un volume $V_1 = 250{,}0\text{ mL}$ d'eau du robinet par une solution aqueuse de nitrate d'argent $(\text{Ag}^+(\text{aq}); \text{NO}_3^-(\text{aq}))$ de concentration $C = 1{,}00 \times 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

L'équation de réaction modélisant la transformation support de ce titrage est:

$$\text{Ag}^+(\text{aq}) + \text{Cl}^-(\text{aq}) \rightarrow \text{AgCl}(\text{s})$$

Données:

Masse molaire atomique du chlore: $M(\text{Cl}) = 35{,}5\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$;

Conductivités ioniques molaires à $25\ ^\circ\text{C}$ de quelques ions:

$\lambda(\text{Cl}^-) = 7{,}6\text{ mS}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1}$;

$\lambda(\text{NO}_3^-) = 7{,}1\text{ mS}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1}$;

$\lambda(\text{Ag}^+) = 6{,}2\text{ mS}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1}$.

Q1.

Schématiser le dispositif du titrage et légender le matériel et la verrerie, en identifiant clairement où se situent la solution titrante et la solution titrée.

On souhaite étudier l'évolution des quantités de matière des espèces $\text{Cl}^-$, $\text{Na}^+$, et $\text{AgCl}$ présentes dans le milieu au cours du titrage et prévoir l'allure de la courbe de titrage. Un programme en langage Python permet de simuler le titrage réalisé, en prenant une valeur de concentration de la solution titrée proche de celle attendue. Un extrait de ce programme est fourni sur la figure 1.

Q2.

Recopier sur la copie les lignes de code 4 et 5 et les compléter par une valeur numérique.

Q3.

Recopier sur la copie la ligne de code 7 et la compléter par l'expression du volume à l'équivalence en fonction des données définies dans le programme Python.

Les lignes de code 11, 13 et 15 permettent de calculer les quantités de matière pour les espèces chimiques mentionnées sur la simulation. La ligne de code 15 donne les expressions des quantités de matière du chlorure d'argent formé pour trois volumes versés différents de solution titrante: $V = 0$; $V = \text{VE}$ et $V = \text{Vmax}$.

Q4.

Recopier puis compléter la ligne 15 du programme sur la copie, en utilisant les paramètres C et VE, sur le même modèle que les lignes 11 et 13.

L'ion nitrate $\text{NO}_3^-$ est une autre espèce ionique présente dans le milieu réactionnel: cette espèce ne participe pas à la transformation chimique mise en jeu.

Après exécution, le programme de simulation fournit la figure de l'ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE représentant l'évolution, au cours du titrage, des quantités de matière des espèces qui interviennent dans la réaction support du titrage: $\text{Ag}^+$, $\text{Cl}^-$ et $\text{AgCl}$.

Q5.

Tracer sur la figure de l'ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE l'évolution de la quantité de matière des ions nitrate en fonction du volume $V$ de solution titrante ajouté.

Q6.

À l'aide des courbes fournies par le programme de simulation et présentées sur l'ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE, interpréter qualitativement l'évolution de la conductivité au cours du titrage.

Une fois le titrage réalisé, on trace l'évolution de la conductivité du mélange, notée $\sigma$, en fonction du volume $V$ de solution titrante ajouté. On obtient les résultats expérimentaux fournis en figure 2.

La teneur maximale en ions chlorure permettant l'activité fermentaire des bactéries contenues dans les grains de kéfir est de $2\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}$.

Q7.

Déterminer la concentration en masse en ions chlorure de cette eau du robinet et conclure sur son utilisation pour réaliser du kéfir.

Exercice 1 – Le kéfir de fruit (9 points)

Le kéfir de fruit est une boisson fermentée, naturellement pétillante et peu sucrée, obtenue par la fermentation à l’aide de grains de kéfir. Ces grains sont constitués de levures et de bactéries, micro-organismes responsables du processus de fermentation.

L’objectif de cet exercice est d’étudier différents paramètres de la préparation du kéfir susceptibles d’influencer ses caractéristiques gustatives, en particulier les paramètres liés à la fermentation.

On peut trouver sur internet une recette permettant de produire 1 litre de kéfir de fruit:

ingrédients: 20 g de grains de kéfir;

20 g de sucre;

2 tranches de citron;

1 figue sèche;

quantité suffisante d’eau du robinet pour obtenir 1 L de boisson;

recette: introduire tous les ingrédients dans un grand bocal fermé;

laisser fermenter à température ambiante dans un endroit sec, à l’abri de la lumière, durant au moins 24 h.

2. Évolution de la cinétique de la réaction de fermentation

Lors du processus de fermentation, le glucose apporté par le sucre est transformé en éthanol et en dioxyde de carbone: le dégagement gazeux qui en résulte est responsable de l'aspect pétillant de cette boisson.

On se propose d'étudier la cinétique de cette fermentation, qu'on modélise par l'équation de réaction suivante:

$$\mathrm{C_6H_{12}O_6(aq) \rightarrow 2\ CH_3CH_2OH(aq) + 2\ CO_2(g)}$$

Données:

Masse molaire moléculaire: $M(\mathrm{C_6H_{12}O_6}) = 180{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

La méthode étudiée consiste à suivre l'évolution de la concentration en éthanol au cours du temps dans le milieu réactionnel, à l'aide d'une sonde spécifique.

Pour cela, on prépare au laboratoire un litre de kéfir de fruit et on mesure la concentration en éthanol dissous dans le milieu réactionnel à l'aide d'une acquisition informatisée. La recette utilisée est celle proposée en début d'énoncé, les $20\ \mathrm{g}$ de sucre de la recette étant remplacés par $20\ \mathrm{g}$ de glucose. Pour la suite de l'exercice, on note $V_{\text{boisson}}$ le volume de boisson préparé.

Q8.

Citer une autre méthode envisageable pour suivre la cinétique de cette réaction de fermentation.

Afin de suivre la cinétique de la réaction de fermentation par la méthode choisie, il est nécessaire de relier la concentration en glucose à la concentration d'éthanol dans le milieu réactionnel.

Q9.

Montrer que l'évolution de la quantité de matière de glucose au cours du temps peut être définie à partir de la quantité de matière d'éthanol selon l'expression littérale:

$$n_{\text{glu}}(t) = n_{\text{glu}}(t_0) - \frac{C_{\text{éth}}(t) \cdot V_{\text{boisson}}}{2}$$

où $n_{\text{glu}}(t)$ et $n_{\text{glu}}(t_0)$ sont les quantités de matière de glucose respectivement à la date $t$ et à l'instant initial $t_0 = 0$ et $C_{\text{éth}}(t)$ est la concentration en quantité de matière d'éthanol à la date $t$. On pourra s'aider d'un tableau d'avancement.

On se propose de vérifier que l'évolution de la concentration en glucose suit une loi de vitesse d'ordre 1.

Q10.

À partir de la définition de la vitesse de disparition du glucose et en supposant que cette vitesse suit une loi d'ordre 1, montrer que:

$$\frac{\mathrm{d}C_{\text{glu}}(t)}{\mathrm{d}t} + k \cdot C_{\text{glu}}(t) = 0$$

Q11.

Justifier que cette équation différentielle admet pour solution une fonction d'expression:

$$C_{\text{glu}}(t) = C_{\text{glu}}(0) \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$$

À partir des résultats expérimentaux, on trace l'évolution temporelle du logarithme népérien de la concentration en quantité de matière de glucose, en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Le graphique obtenu est fourni en figure 3.

Q12.

Justifier que ce tracé permet de confirmer que la vitesse de disparition du glucose lors de la fermentation suit bien une loi de vitesse d'ordre 1.

Q13.

À partir de l'équation de la modélisation, calculer la masse de glucose initialement introduite pour réaliser cette expérience de fermentation. Commenter.

Le temps de demi-réaction peut se calculer à l'aide de l'expression suivante:

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$$

Q14.

Déterminer la valeur du temps de demi-réaction à l'aide des résultats expérimentaux. Conclure quant à la recette fournie en début d'énoncé, sachant que la boisson doit encore contenir du sucre pour être agréable au goût.

Exercice 1 – Le kéfir de fruit (9 points)

Le kéfir de fruit est une boisson fermentée, naturellement pétillante et peu sucrée, obtenue par la fermentation à l’aide de grains de kéfir. Ces grains sont constitués de levures et de bactéries, micro-organismes responsables du processus de fermentation.

L’objectif de cet exercice est d’étudier différents paramètres de la préparation du kéfir susceptibles d’influencer ses caractéristiques gustatives, en particulier les paramètres liés à la fermentation.

On peut trouver sur internet une recette permettant de produire 1 litre de kéfir de fruit:

ingrédients: 20 g de grains de kéfir;

20 g de sucre;

2 tranches de citron;

1 figue sèche;

quantité suffisante d’eau du robinet pour obtenir 1 L de boisson;

recette: introduire tous les ingrédients dans un grand bocal fermé;

laisser fermenter à température ambiante dans un endroit sec, à l’abri de la lumière, durant au moins 24 h.

3. Arôme de la boisson végétale de kéfir

La recette étudiée propose d'ajouter quelques tranches de citron pour donner un goût acidulé. Cet agrume contient dans son écorce des espèces chimiques telles que le limonène et le citral; son jus est riche en acide citrique.

On se propose dans cette partie d'identifier les espèces présentes dans la boisson préparée et qui pourraient alors être responsables du goût acidulé de la boisson.

Données

Données de spectroscopie infrarouge:

Liaison

O–H

C–H

C=C

C=O

Nombre d'onde (en cm⁻¹)

3200 – 3700

2850 – 3100

1620 – 1680

1650 – 1730

Allure de la bande caractéristique

Forte et large

Forte

Faible et fine

Forte et fine

Données de solubilité de différents composés présents dans le citron:

Espèce chimique

Solubilité dans l'eau

Solubilité dans l'acétate d'éthyle

Solubilité dans le cyclohexane

Limonène

Faible

Convenable

Grande

Citral

Très faible

Convenable

Grande

Acide citrique

Grande

Grande

Nulle

Miscibilité des différents solvants avec l'eau:

Solvant

acétate d'éthyle

cyclohexane

Miscibilité avec l'eau

faible

nulle

Q15.

Attribuer chacun des deux spectres présentés au citral et à l'acide citrique. Justifier.

On souhaite identifier les espèces présentes dans le kéfir préparé. Pour cela, on réalise leur extraction à l'aide d'un solvant.

Q16.

Choisir, en justifiant, parmi l'eau, l'acétate d'éthyle et le cyclohexane, le solvant le plus approprié pour extraire simultanément le citral, l'acide citrique et le limonène présents dans le kéfir.

Après l'extraction, on réalise une chromatographie sur couche mince pour analyser l'extrait, noté K. Après révélation avec une solution de permanganate de potassium, on obtient un chromatogramme dont une représentation est donnée en figure 6.

Q17.

En analysant le chromatogramme obtenu, déterminer l'espèce issue du citron que l'on retrouve dans la boisson et qui pourrait être responsable du goût acidulé du kéfir.

Exercice 2 – La yaourtière (5,5 points)

La préparation de yaourt « maison » à partir de lait est une pratique de plus en plus courante. Cette préparation repose sur une prise en masse progressive du lait sous l'action de ferments lactiques pendant environ 8 heures, à la température de 43 °C, qui est maintenue automatiquement dans la yaourtière. Il faut encore attendre 2 heures pour que les yaourts ainsi préparés refroidissent, à l'air libre puis au réfrigérateur.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier quelques aspects de la fabrication d'un yaourt maison, d'estimer son coût puis de modéliser l'étape finale de refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur.

1. Fabrication des yaourts dans la yaourtière

Certains ferments lactiques utilisés pour la fabrication des yaourts maison contiennent des bactéries alimentaires qui présentent un optimum de croissance à la température de 43 °C.

La yaourtière utilisée permet la préparation de 7 yaourts. On utilise la recette suivante:

verser 700 mL de lait à la température ambiante dans un récipient;

ajouter un sachet de 2 g de ferments lactiques puis mélanger;

répartir la préparation dans les 7 pots en verre de la yaourtière et les fermer à l'aide d'un couvercle;

phase de chauffage: mettre les 7 pots dans la yaourtière, fermer la yaourtière, la démarrer et la faire fonctionner pendant 8 heures;

phase de refroidissement: laisser refroidir les pots puis les mettre au réfrigérateur pendant 2 heures.

Afin d'effectuer des bilans d'énergie, on définit le système étudié, noté {S}, constitué de la yaourtière contenant les 7 pots en verre fermés et remplis. On admet que tous les composants du système {S} sont à la même température.

Lors de la phase de chauffage de 8 heures, il est possible de distinguer deux étapes:

étape A: chauffage du système {S} de la température ambiante à la température de 43 °C pendant une durée $\Delta t_\text{A}$;

étape B: maintien en continu du système {S} à la température de 43 °C pendant une durée $\Delta t_\text{B}$.

Données:

conversion d'une énergie en wattheure (Wh) en une énergie en joule (J): $1\text{ kWh} = 3\,600\text{ kJ}$;

puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape A: $P_\text{A} = 150\text{ W}$;

puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape B: $P_\text{B} = 20\text{ W}$;

estimation de la capacité thermique du système {S}: $C = 4{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}$;

température de fabrication d'un yaourt: $\theta_\text{fab} = 43\text{ }^\circ\text{C}$;

température de l'air ambiant: $\theta_\text{amb} = 20\text{ }^\circ\text{C}$.

1. Fabrication des yaourts dans la yaourtière

Certains ferments lactiques utilisés pour la fabrication des yaourts maison contiennent des bactéries alimentaires qui présentent un optimum de croissance à la température de 43 °C.

La yaourtière utilisée permet la préparation de 7 yaourts. On utilise la recette suivante:

verser 700 mL de lait à la température ambiante dans un récipient;

ajouter un sachet de 2 g de ferments lactiques puis mélanger;

répartir la préparation dans les 7 pots en verre de la yaourtière et les fermer à l'aide d'un couvercle;

phase de chauffage: mettre les 7 pots dans la yaourtière, fermer la yaourtière, la démarrer et la faire fonctionner pendant 8 heures;

phase de refroidissement: laisser refroidir les pots puis les mettre au réfrigérateur pendant 2 heures.

Afin d'effectuer des bilans d'énergie, on définit le système étudié, noté {S}, constitué de la yaourtière contenant les 7 pots en verre fermés et remplis. On admet que tous les composants du système {S} sont à la même température.

Lors de la phase de chauffage de 8 heures, il est possible de distinguer deux étapes:

étape A: chauffage du système {S} de la température ambiante à la température de 43 °C pendant une durée $\Delta t_A$;

étape B: maintien en continu du système {S} à la température de 43 °C pendant une durée $\Delta t_B$.

Données:

conversion d'une énergie en wattheure (Wh) en une énergie en joule (J): $1\text{ kWh} = 3\,600\text{ kJ}$;

puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape A: $P_A = 150\text{ W}$;

puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape B: $P_B = 20\text{ W}$;

estimation de la capacité thermique du système {S}: $C = 4{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}$;

température de fabrication d'un yaourt: $\theta_{\text{fab}} = 43\text{ }^\circ\text{C}$;

température de l'air ambiant: $\theta_{\text{amb}} = 20\text{ }^\circ\text{C}$.

Q1.

Montrer que la valeur de l'énergie thermique $Q_{\text{chauffage}}$ qui doit être transférée au système {S} lors de l'étape A est voisine de $9{,}2 \times 10^4\text{ J}$.

Q2.

Calculer la durée $\Delta t_A$ de l'étape A, en supposant que, pendant cette étape, 85 % de l'énergie électrique consommée par la yaourtière est fournie par transfert thermique au système {S}. En déduire que la durée $\Delta t_B$ de l'étape B est de l'ordre de 7 heures et 50 minutes.

Un des arguments souvent avancés qui encouragent à faire ses yaourts soi-même est le prix: à qualité égale, ils coûteraient moins cher que ceux achetés directement dans la grande distribution.

On donne des coûts approximatifs ci-dessous:

1 kWh électrique

1 L de lait

2 g de ferments lactiques

1 pot de yaourt nature de grande distribution et de qualité comparable à celui fait maison

0,20 €

1,05 €

0,64 €

0,35 €

Q3.

Estimer le prix de fabrication d'un yaourt fait maison. Discuter si l'argument lié au coût des yaourts maison est vérifié.

€

Exercice 2 – La yaourtière (5,5 points)

La préparation de yaourt « maison » à partir de lait est une pratique de plus en plus courante. Cette préparation repose sur une prise en masse progressive du lait sous l'action de ferments lactiques pendant environ 8 heures, à la température de 43 °C, qui est maintenue automatiquement dans la yaourtière. Il faut encore attendre 2 heures pour que les yaourts ainsi préparés refroidissent, à l'air libre puis au réfrigérateur.

Les objectifs de cet exercice sont d'étudier quelques aspects de la fabrication d'un yaourt maison, d'estimer son coût puis de modéliser l'étape finale de refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur.

1. Fabrication des yaourts dans la yaourtière

Certains ferments lactiques utilisés pour la fabrication des yaourts maison contiennent des bactéries alimentaires qui présentent un optimum de croissance à la température de 43 °C.

La yaourtière utilisée permet la préparation de 7 yaourts. On utilise la recette suivante:

verser 700 mL de lait à la température ambiante dans un récipient;

ajouter un sachet de 2 g de ferments lactiques puis mélanger;

répartir la préparation dans les 7 pots en verre de la yaourtière et les fermer à l'aide d'un couvercle;

phase de chauffage: mettre les 7 pots dans la yaourtière, fermer la yaourtière, la démarrer et la faire fonctionner pendant 8 heures;

phase de refroidissement: laisser refroidir les pots puis les mettre au réfrigérateur pendant 2 heures.

Afin d'effectuer des bilans d'énergie, on définit le système étudié, noté {S}, constitué de la yaourtière contenant les 7 pots en verre fermés et remplis. On admet que tous les composants du système {S} sont à la même température.

Lors de la phase de chauffage de 8 heures, il est possible de distinguer deux étapes:

étape A: chauffage du système {S} de la température ambiante à la température de 43 °C pendant une durée $\Delta t_\text{A}$;

étape B: maintien en continu du système {S} à la température de 43 °C pendant une durée $\Delta t_\text{B}$.

Données:

conversion d'une énergie en wattheure (Wh) en une énergie en joule (J): $1\text{ kWh} = 3\,600\text{ kJ}$;

puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape A: $P_\text{A} = 150\text{ W}$;

puissance électrique moyenne consommée par la yaourtière durant l'étape B: $P_\text{B} = 20\text{ W}$;

estimation de la capacité thermique du système {S}: $C = 4{,}0 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}$;

température de fabrication d'un yaourt: $\theta_\text{fab} = 43\text{ }^\circ\text{C}$;

température de l'air ambiant: $\theta_\text{amb} = 20\text{ }^\circ\text{C}$.

2. Refroidissement des yaourts dans le réfrigérateur

Dans cette partie, on étudie le refroidissement d'un seul pot de yaourt.

Après avoir passé 8 h dans la yaourtière, le pot de yaourt, avec son couvercle, est d'abord refroidi à l'air jusqu'à atteindre la température de 30 °C. On étudie dans cette partie la seconde phase de refroidissement à partir de l'instant initial où le pot de yaourt est placé dans le réfrigérateur.

Le système d'étude est noté {P}; il comprend le pot en verre, le couvercle et le yaourt qu'il contient. On admet que tous ses composants sont à la même température.

Données:

Loi de Newton donnant l'expression du flux thermique $\Phi$, en watt, cédé par le système {P} de température $\theta$, en contact avec l'air intérieur du réfrigérateur de température $\theta_{\text{réfri}}$:

$$\Phi = h \cdot S \cdot (\theta - \theta_{\text{réfri}})$$

avec:

• $h$, coefficient de transfert thermique surfacique: $h = 10\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}$;

• $S$, surface d'échange entre l'air de l'intérieur du réfrigérateur et le système {P}: $S = 0{,}019\ \text{m}^2$.

• Masse du système {P}: $m = 0{,}19\ \text{kg}$;

• Température, considérée constante, de l'intérieur du réfrigérateur: $\theta_{\text{réfri}} = 4{,}0\ ^\circ\text{C}$;

• Température initiale du système {P}: $\theta_0 = 30\ ^\circ\text{C}$;

• Capacité thermique massique du système {P}: $c_Y = 2{,}5 \times 10^3\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$.

Q4.

Nommer les trois modes de transfert thermique permettant le refroidissement du système {P}.

Q5.

Calculer la valeur du flux thermique initial $\Phi_0$ cédé par le système {P} à l'instant initial $t = 0$ et indiquer, en justifiant, comment varie le flux thermique au cours du temps.

Q6.

Indiquer la température du système {P} après un temps très long. Montrer que la valeur de l'énergie thermique perdue par le système {P} durant la phase de refroidissement est voisine de 12 kJ.

Q7.

Calculer la durée $\Delta t_0$ qui serait nécessaire pour effectuer un transfert thermique de 12 kJ à la puissance $\Phi_0$.

En tenant compte de la variation du flux thermique au cours du temps, on montre que l'évolution de la température du système {P} peut être modélisée par la fonction:

$$\theta(t) = (\theta_0 - \theta_{\text{réfri}}) \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} + \theta_{\text{réfri}} \quad \text{où} \quad \tau = \frac{m \, c_Y}{h \, S}$$

Q8.

Tracer l'allure de l'évolution de la température $\theta$ en fonction du temps en indiquant les températures initiale et finale; faire apparaître une méthode graphique de détermination du temps caractéristique $\tau$.

Q9.

Comparer la valeur de $\tau$ à celle de $\Delta t_0$ obtenue en Q7. Commenter.

Exercice 3 – Le satellite TESS (5,5 points)

Les exoplanètes sont des planètes en orbite autour d'une étoile autre que le Soleil. Les physiciens Michel Mayor et Didier Queloz ont reçu en 2019 le prix Nobel de physique pour la première détection d'une exoplanète.

Le satellite TESS « Transiting Exoplanet Survey Satellite » est à la recherche de nouvelles exoplanètes depuis le 18 avril 2018. En juillet 2019, le satellite TESS a permis la découverte du système planétaire « TOI 270 », composé entre autres de deux exoplanètes, que l'on appellera exoplanète 1 et exoplanète 2, en orbite autour de l'étoile E.

L'objectif de cet exercice est d'étudier le système planétaire « TOI 270 » pour lequel on supposera que les mouvements des exoplanètes 1 et 2 autour de l'étoile E sont circulaires uniformes. L'interaction entre les deux exoplanètes est négligée.

Données:

Constante de gravitation universelle: $G = 6{,}67\times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$;

Approximations dans le cas de petits angles ($\alpha \ll 1\text{ rad}$): $\sin\alpha = \alpha$; $\tan\alpha = \alpha$.

Objet

Étoile E

Exoplanète 1

Exoplanète 2

Rayon de l'orbite autour de E en km

$R_1 = 6{,}77\times 10^6$

$R_2 = 1{,}08\times 10^7$

Période de révolution autour de E en jours terrestres

$T_1$

$T_2 = 11{,}4$

Rayon de l'objet en km

$r_E = 2{,}63\times 10^5$

$r_1$

Masse de l'objet en kg

$M_E = 7{,}68\times 10^{29}$

$M_2$

1. Étude du système « TOI 270 »

On étudie le mouvement de l'exoplanète 2, de masse $M_2$, en orbite circulaire autour de l'étoile E. L'étude est conduite dans un référentiel dont l'origine est prise au centre de l'étoile E et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines; il est supposé galiléen. On travaille dans le repère de Frenet $(\text{P}, \vec{u}_T, \vec{u}_N)$.

Q1.

Exprimer la force d'attraction gravitationnelle, notée $\vec{F}$, exercée par l'étoile E sur l'exoplanète 2, en fonction de $M_2$, $M_E$, $G$, $R_2$ et $\vec{u}_N$.

Q2.

En utilisant la deuxième loi de Newton, établir l'expression de la vitesse $v_2$ de l'exoplanète 2 en fonction de $G$, $M_E$ et $R_2$.

Q3.

Établir que la masse $M_E$ de l'étoile est donnée par la relation $M_E = \frac{4\pi^2\cdot R_2^3}{G\cdot T_2^2}$.

Q4.

Vérifier que la valeur de la masse $M_E$ déduite de cette relation est voisine de celle indiquée dans le tableau de données.

Q5.

En utilisant la troisième loi de Kepler et les données $R_1$, $R_2$ et $T_2$ relatives aux exoplanètes, déterminer la valeur de la période $T_1$ exprimée en jours terrestres.

2. Mesure expérimentale de la période de révolution $T_1$ de l'exoplanète 1

Le satellite TESS utilise une caméra pour détecter des exoplanètes. Lorsqu'une exoplanète passe entre l'étoile et la caméra, la puissance lumineuse reçue par la caméra diminue. Ce phénomène est appelé transit planétaire et indique la présence d'une exoplanète en orbite autour de l'étoile pointée par la caméra.

On se propose de déterminer la valeur de la période $T_1$ de révolution de l'exoplanète 1 autour de l'étoile E en exploitant les relevés envoyés par le satellite TESS. Lors du transit de l'exoplanète 1 devant l'étoile E (schématisé sur la figure 2), on mesure la puissance lumineuse relative $P_{\text{lum}}$ reçue par la caméra en fonction du temps (figure 3). L'origine des dates ($t = 0$) est prise au milieu du transit.

On admet que le rayon $r_1$ de l'exoplanète 1, le rayon $r_E$ de l'étoile E et la diminution $\Delta P_{\text{lum}}$ de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra pendant le transit de l'exoplanète 1 vérifient la relation suivante:

$$\Delta P_{\text{lum}} = \left(\frac{r_1}{r_E}\right)^2$$

Q6.

Indiquer qualitativement l'influence de la taille de l'exoplanète sur la diminution $\Delta P_{\text{lum}}$ de la puissance lumineuse relative reçue par la caméra au cours d'un transit.

Q7.

Vérifier que le rayon $r_1$ de l'exoplanète 1 vaut environ $1,7\times 10^4\text{ km}$.

Q8.

En utilisant les figures 2 et 3, et sachant que l'angle $\alpha$ est très petit devant 1 rad, estimer la valeur de la période $T_1$ de révolution de l'exoplanète 1 que l'on peut déduire des observations. Commenter.