Exercice 1 - Cinétique chimique · Bac Physique-Chimie Métropole 2026 (sujet 2)

Exercice 1 – Le kéfir de fruit (9 points)

Le kéfir de fruit est une boisson fermentée, naturellement pétillante et peu sucrée, obtenue par la fermentation à l’aide de grains de kéfir. Ces grains sont constitués de levures et de bactéries, micro-organismes responsables du processus de fermentation.

L’objectif de cet exercice est d’étudier différents paramètres de la préparation du kéfir susceptibles d’influencer ses caractéristiques gustatives, en particulier les paramètres liés à la fermentation.

On peut trouver sur internet une recette permettant de produire 1 litre de kéfir de fruit:

ingrédients: 20 g de grains de kéfir;

20 g de sucre;

2 tranches de citron;

1 figue sèche;

quantité suffisante d’eau du robinet pour obtenir 1 L de boisson;

recette: introduire tous les ingrédients dans un grand bocal fermé;

laisser fermenter à température ambiante dans un endroit sec, à l’abri de la lumière, durant au moins 24 h.

2. Évolution de la cinétique de la réaction de fermentation

Lors du processus de fermentation, le glucose apporté par le sucre est transformé en éthanol et en dioxyde de carbone: le dégagement gazeux qui en résulte est responsable de l'aspect pétillant de cette boisson.

On se propose d'étudier la cinétique de cette fermentation, qu'on modélise par l'équation de réaction suivante:

$$\mathrm{C_6H_{12}O_6(aq) \rightarrow 2\ CH_3CH_2OH(aq) + 2\ CO_2(g)}$$

Données:

Masse molaire moléculaire: $M(\mathrm{C_6H_{12}O_6}) = 180{,}0\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

La méthode étudiée consiste à suivre l'évolution de la concentration en éthanol au cours du temps dans le milieu réactionnel, à l'aide d'une sonde spécifique.

Pour cela, on prépare au laboratoire un litre de kéfir de fruit et on mesure la concentration en éthanol dissous dans le milieu réactionnel à l'aide d'une acquisition informatisée. La recette utilisée est celle proposée en début d'énoncé, les $20\ \mathrm{g}$ de sucre de la recette étant remplacés par $20\ \mathrm{g}$ de glucose. Pour la suite de l'exercice, on note $V_{\text{boisson}}$ le volume de boisson préparé.

Q8.

Citer une autre méthode envisageable pour suivre la cinétique de cette réaction de fermentation.

Afin de suivre la cinétique de la réaction de fermentation par la méthode choisie, il est nécessaire de relier la concentration en glucose à la concentration d'éthanol dans le milieu réactionnel.

Q9.

Montrer que l'évolution de la quantité de matière de glucose au cours du temps peut être définie à partir de la quantité de matière d'éthanol selon l'expression littérale:

$$n_{\text{glu}}(t) = n_{\text{glu}}(t_0) - \frac{C_{\text{éth}}(t) \cdot V_{\text{boisson}}}{2}$$

où $n_{\text{glu}}(t)$ et $n_{\text{glu}}(t_0)$ sont les quantités de matière de glucose respectivement à la date $t$ et à l'instant initial $t_0 = 0$ et $C_{\text{éth}}(t)$ est la concentration en quantité de matière d'éthanol à la date $t$. On pourra s'aider d'un tableau d'avancement.

On se propose de vérifier que l'évolution de la concentration en glucose suit une loi de vitesse d'ordre 1.

Q10.

À partir de la définition de la vitesse de disparition du glucose et en supposant que cette vitesse suit une loi d'ordre 1, montrer que:

$$\frac{\mathrm{d}C_{\text{glu}}(t)}{\mathrm{d}t} + k \cdot C_{\text{glu}}(t) = 0$$

Q11.

Justifier que cette équation différentielle admet pour solution une fonction d'expression:

$$C_{\text{glu}}(t) = C_{\text{glu}}(0) \cdot \mathrm{e}^{-k\cdot t}$$

À partir des résultats expérimentaux, on trace l'évolution temporelle du logarithme népérien de la concentration en quantité de matière de glucose, en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Le graphique obtenu est fourni en figure 3.

Q12.

Justifier que ce tracé permet de confirmer que la vitesse de disparition du glucose lors de la fermentation suit bien une loi de vitesse d'ordre 1.

Q13.

À partir de l'équation de la modélisation, calculer la masse de glucose initialement introduite pour réaliser cette expérience de fermentation. Commenter.

Le temps de demi-réaction peut se calculer à l'aide de l'expression suivante:

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$$

Q14.

Déterminer la valeur du temps de demi-réaction à l'aide des résultats expérimentaux. Conclure quant à la recette fournie en début d'énoncé, sachant que la boisson doit encore contenir du sucre pour être agréable au goût.