Sujet du Bac Physique-Chimie 2021 · Métropole 1 remplacement

EXERCICE 1 commun à tous les candidats (10 points)

SYNTHÈSE D'UN ARÔME

L'éthanoate de 3-méthylbutyle est une espèce chimique odorante présente notamment dans les pommes mûres. Son odeur agréable et sa faible toxicité permettent de l'utiliser comme arôme dans les bonbons. Cette espèce chimique appartient à la famille fonctionnelle des esters.

Cet exercice a pour objectif d'étudier dans un premier temps les espèces chimiques intervenant dans la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle, puis d'étudier les conditions d'optimisation de cette synthèse.

Données:

données physico-chimiques de quelques espèces chimiques:

Nom de l'espèce chimique en nomenclature officielle · 3-méthylbutan-1-ol · Acide éthanoïque · Éthanoate de 3-méthylbutyle · Eau · Cyclohexane

Formule brute · C 5 H 12 O · C 2 H 4 O 2 · C 7 H 14 O 2 · H 2 O · C 6 H 14

Masse volumique (g·mL⁻¹) à 25°C · 0,81 · 1,05 · 0,87 · 1,00 · 0,78

Masse molaire (g·mol⁻¹) · 88,1 · 60,0 · 130,2 · 18,0 · 84,2

Solubilité dans l'eau à 25°C · Peu soluble · Très soluble · Très peu soluble · · Très peu soluble

tableau de quelques bandes d'absorption infrarouge:

Liaison · C = C · C = O · C – H · O – H d'un acide carboxylique · O – H d'un alcool

Nombre d'onde (cm⁻¹) · 1 550 à 1 650 · 1 650 à 1 800 · 2 800 à 3 100 · 2 500 à 3 200 · 3 200 à 3 500

règles de nomenclature:

squelettes carbonés

Règle de position et nom des groupes pour les hydrocarbures ramifiés.

famille fonctionnelle des esters

Structure générale d'un ester et exemples de nomenclature (éthanoate de méthyle, propanoate de 2-méthylpentyle).

1. Des réactifs aux produits de la synthèse

Pour réaliser la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle au laboratoire, on utilise les deux réactifs suivants: l'acide éthanoïque et le 3-méthylbutan-1-ol.

La représentation semi-développée du 3-méthylbutan-1-ol est:

$\begin{array}{cccc}

\mathrm{OH} & & \mathrm{CH_3} & \\

| & & | & \\

\mathrm{H_2C} & -\ \mathrm{CH_2}\ - & \mathrm{CH} & -\ \mathrm{CH_3}

\end{array}$

1.1.

Justifier le nom du 3-méthylbutan-1-ol.

1.2.

Donner la représentation topologique du 3-méthylbutan-1-ol et entourer le groupe caractéristique de la molécule. Nommer la famille fonctionnelle correspondante.

1.4.

Représenter la formule semi-développée de l'éthanoate de 3-méthylbutyle en exploitant les règles de nomenclature fournies.

EXERCICE 1 commun à tous les candidats (10 points)

SYNTHÈSE D'UN ARÔME

L'éthanoate de 3-méthylbutyle est une espèce chimique odorante présente notamment dans les pommes mûres. Son odeur agréable et sa faible toxicité permettent de l'utiliser comme arôme dans les bonbons. Cette espèce chimique appartient à la famille fonctionnelle des esters.

Cet exercice a pour objectif d'étudier dans un premier temps les espèces chimiques intervenant dans la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle, puis d'étudier les conditions d'optimisation de cette synthèse.

Données:

données physico-chimiques de quelques espèces chimiques:

Nom de l'espèce chimique en nomenclature officielle · 3-méthylbutan-1-ol · Acide éthanoïque · Éthanoate de 3-méthylbutyle · Eau · Cyclohexane

Formule brute · C 5 H 12 O · C 2 H 4 O 2 · C 7 H 14 O 2 · H 2 O · C 6 H 14

Masse volumique (g·mL⁻¹) à 25°C · 0,81 · 1,05 · 0,87 · 1,00 · 0,78

Masse molaire (g·mol⁻¹) · 88,1 · 60,0 · 130,2 · 18,0 · 84,2

Solubilité dans l'eau à 25°C · Peu soluble · Très soluble · Très peu soluble · · Très peu soluble

tableau de quelques bandes d'absorption infrarouge:

Liaison · C = C · C = O · C – H · O – H d'un acide carboxylique · O – H d'un alcool

Nombre d'onde (cm⁻¹) · 1 550 à 1 650 · 1 650 à 1 800 · 2 800 à 3 100 · 2 500 à 3 200 · 3 200 à 3 500

règles de nomenclature:

squelettes carbonés

Règle de position et nom des groupes pour les hydrocarbures ramifiés.

famille fonctionnelle des esters

Structure générale d'un ester et exemples de nomenclature (éthanoate de méthyle, propanoate de 2-méthylpentyle).

1. Des réactifs aux produits de la synthèse

1.3.

On donne (figure 1) les spectres infrarouges des deux réactifs. Identifier, en justifiant, le spectre correspondant au 3-méthylbutan-1-ol.

EXERCICE 1 commun à tous les candidats (10 points)

SYNTHÈSE D'UN ARÔME

L'éthanoate de 3-méthylbutyle est une espèce chimique odorante présente notamment dans les pommes mûres. Son odeur agréable et sa faible toxicité permettent de l'utiliser comme arôme dans les bonbons. Cette espèce chimique appartient à la famille fonctionnelle des esters.

Cet exercice a pour objectif d'étudier dans un premier temps les espèces chimiques intervenant dans la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle, puis d'étudier les conditions d'optimisation de cette synthèse.

Données:

données physico-chimiques de quelques espèces chimiques:

Nom de l'espèce chimique en nomenclature officielle · 3-méthylbutan-1-ol · Acide éthanoïque · Éthanoate de 3-méthylbutyle · Eau · Cyclohexane

Formule brute · C 5 H 12 O · C 2 H 4 O 2 · C 7 H 14 O 2 · H 2 O · C 6 H 14

Masse volumique (g·mL⁻¹) à 25°C · 0,81 · 1,05 · 0,87 · 1,00 · 0,78

Masse molaire (g·mol⁻¹) · 88,1 · 60,0 · 130,2 · 18,0 · 84,2

Solubilité dans l'eau à 25°C · Peu soluble · Très soluble · Très peu soluble · · Très peu soluble

tableau de quelques bandes d'absorption infrarouge:

Liaison · C = C · C = O · C – H · O – H d'un acide carboxylique · O – H d'un alcool

Nombre d'onde (cm⁻¹) · 1 550 à 1 650 · 1 650 à 1 800 · 2 800 à 3 100 · 2 500 à 3 200 · 3 200 à 3 500

règles de nomenclature:

squelettes carbonés

Règle de position et nom des groupes pour les hydrocarbures ramifiés.

famille fonctionnelle des esters

Structure générale d'un ester et exemples de nomenclature (éthanoate de méthyle, propanoate de 2-méthylpentyle).

2. Optimisation de la synthèse au laboratoire de l'éthanoate de 3-méthylbutyle

La synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle est une transformation lente et non totale.

Protocole de la synthèse: verser dans un ballon un volume $V_1$ de 3-méthylbutan-1-ol, une masse $m_2$ d'acide éthanoïque et un volume $V_3$ d'acide sulfurique concentré.

Comme indiqué sur la figure 2, le ballon, surmonté d'un réfrigérant à air, est placé dans un bain-marie maintenant la température constante.

Pour montrer l'influence de certaines conditions expérimentales sur cette synthèse, quatre expériences sont réalisées. Le tableau ci-après présente les résultats expérimentaux pour quatre conditions différentes.

· Expérience 1 · Expérience 2 · Expérience 3 · Expérience 4

Température (°C) · 30 · 30 · 60 · 60

Volume initial $V_1$ de 3-méthylbutan-1-ol (mL) · 12,0 · 12,0 · 12,0 · 36,0

Masse initiale $m_2$ d'acide éthanoïque (g) · 6,62 · 6,62 · 6,62 · 6,62

Volume $V_3$ d'acide sulfurique (mL) · 0 · 0,5 · 0,5 · 0,5

Ordre de grandeur du temps de demi-réaction · Plusieurs mois · Plusieurs heures · Une dizaine de minutes · Inférieur à une dizaine de minutes

2.1.

Écrire à l'aide des formules brutes, l'équation de la réaction modélisant la synthèse de l'éthanoate de 3-méthylbutyle, sachant qu'une autre espèce chimique à identifier est aussi produite. Justifier.

2.2.

En exploitant les résultats expérimentaux, indiquer les conditions expérimentales permettant d'optimiser la cinétique de cette synthèse.

2.3. Détermination expérimentale du rendement de la synthèse de l'expérience 3.

2.3.1.

Déterminer les quantités de matière des réactifs dans le mélange initial de l'expérience 3 et donner un qualificatif à ce mélange initial.

2.3.2.

La masse d'éthanoate de 3-méthylbutyle obtenue en fin de réaction est de $m_3 = 6{,}20$ g. Déterminer le rendement de la synthèse dans l'expérience 3. Commenter.

2.4. Détermination expérimentale du rendement de la synthèse de l'expérience 4.

À la fin de la synthèse, on sépare la phase aqueuse de la phase organique formée dans le ballon. Cette phase aqueuse contient l'acide éthanoïque qui n'a pas réagi et l'acide sulfurique. Ces deux acides sont responsables de l'acidité totale de la solution.

On réalise un titrage acido-basique de cette phase aqueuse, avec comme solution titrante une solution aqueuse d'hydroxyde de potassium ($K^+(aq)$; $HO^-(aq)$) de concentration $C_B = 1{,}0$ mol/L. Ce titrage est suivi par pH-métrie et les courbes pH = f($V_B$) et dpH/dV = f($V_B$) sont représentées à la figure 3.

2.4.1.

Écrire l'équation de la réaction support du titrage entre l'acide éthanoïque et l'ion hydroxyde.

2.4.2.

Déterminer le volume d'hydroxyde de potassium nécessaire pour titrer l'acide éthanoïque.

2.4.3.

En déduire la quantité de matière d'acide éthanoïque restant à la fin de la synthèse dans l'expérience 4.

2.4.4.

Déterminer la quantité de matière d'ester formé et calculer le rendement de la synthèse dans l'expérience 4. En déduire un moyen d'optimiser le rendement de cette synthèse.

3. Amélioration du rendement de la synthèse grâce à l'utilisation d'un tube décanteur de Dean-Stark

On réalise de nouveau l'expérience 3 mais en utilisant un dispositif de Dean-Stark (voir figure 4), qui permet de séparer en continu l'eau formée du reste du milieu réactionnel. Le tube décanteur de ce dispositif est initialement vide. Un volume de 30 mL de cyclohexane est ajouté initialement dans le milieu réactionnel, puis on chauffe à reflux le mélange réactionnel.

On suppose que seuls l'eau et le cyclohexane se vaporisent alors que les réactifs et l'éthanoate de 3-méthylbutyle restent dans le ballon. Le cyclohexane et l'eau se liquéfient dans le réfrigérant à eau et tombent dans le tube décanteur du Dean-Stark. Lorsque le tube décanteur est plein, l'excès de phase A s'écoule dans le mélange réactionnel.

3.1.

Identifier la nature des phases A et B présentes dans le tube décanteur. Justifier.

3.2.

Indiquer l'intérêt de ce dispositif pour optimiser cette synthèse.

3.3.

Lorsque la transformation est terminée, le volume d'eau recueilli dans le tube décanteur est de $V = 1{,}8$ mL. En déduire la quantité de matière d'ester formé. Conclure quant à l'efficacité de ce dispositif.

EXERCICES au choix du candidat (5 points)

Vous indiquerez sur votre copie les 2 exercices choisis: exercice A ou exercice B ou exercice C

EXERCICE A- PUISSANCE RAYONNÉE PAR LA LUNE

Mots-clés: lunette astronomique; évolution de la température d'un système

En 1939, les physiciens Pettit et Nicholson ont étudié la température de surface de la Lune à partir de la mesure de la puissance émise par la Lune lors de l'éclipse lunaire du 28 octobre 1939.

Cet exercice décrit une expérience menée au laboratoire pour déterminer la puissance lumineuse surfacique au niveau de la surface de la Terre lors d'une pleine Lune.

On s'intéresse d'abord à un dispositif de détection qui permet de capter la lumière issue de la Lune, puis on étudie un capteur thermique afin de déterminer la puissance lumineuse surfacique rayonnée lors d'une pleine Lune sur le sol terrestre.

1. Dispositif optique de détection

Pour déterminer la puissance émise par la Lune, Edison Pettit a placé un capteur de température au foyer du télescope du Mont Wilson.

On reproduit l'expérience de Pettit au laboratoire en utilisant une lunette afocale. La lumière diffusée par la Lune est ainsi concentrée sur un capteur de température fixé au foyer image de l'objectif de la lunette.

L'objectif de la lunette est modélisé par une lentille convergente de distance focale $f_1' = 101$ cm, l'oculaire est modélisé par une lentille convergente de distance focale $f_2'$.

Le capteur de température se présente sous la forme d'un petit carré noir de 0,8 mm de côté.

2. Étude du capteur de température exposé au rayonnement du Soleil

On étudie maintenant un capteur de température de type « thermocouple » de capacité thermique $C$. La température indiquée par ce capteur peut être reliée à la puissance rayonnée qu'il reçoit.

Pour déterminer la résistance thermique $R_{th}$ liée au transfert thermique entre le milieu extérieur et le capteur, on étudie le comportement au cours du temps du capteur exposé directement au rayonnement solaire (sans utiliser la lunette étudiée précédemment).

La température du milieu extérieur dans lequel se trouve le capteur est supposée constante et notée $T_0$ pendant toute la durée de l'expérience.

1. Dispositif optique de détection

Pour déterminer la puissance émise par la Lune, Edison Pettit a placé un capteur de température au foyer du télescope du Mont Wilson.

On reproduit l'expérience de Pettit au laboratoire en utilisant une lunette afocale. La lumière diffusée par la Lune est ainsi concentrée sur un capteur de température fixé au foyer image de l'objectif de la lunette.

L'objectif de la lunette est modélisé par une lentille convergente de distance focale $f'_1 = 101$ cm, l'oculaire est modélisé par une lentille convergente de distance focale $f'_2$.

Le capteur de température se présente sous la forme d'un petit carré noir de 0,8 mm de côté.

1.1

Énoncer la condition sur les positions du foyer image de l'objectif et du foyer objet de l'oculaire pour que la lunette soit afocale.

1.2 / 1.3

Préciser sur le schéma de la lunette afocale, en ANNEXE, la position du capteur de température.

Représenter sur ce même schéma le faisceau émergent issu d'une région d'un astre lointain incliné d'un angle $\alpha$ par rapport à l'axe optique et traversant la lunette afocale.

1.4

La « Mer » de la Tranquillité est une vaste plaine circulaire facilement repérable sur la Lune. L'axe de la lunette est pointé sur le centre de la « Mer » de la Tranquillité. L'angle sous lequel on voit cette région à l'œil nu depuis la Terre est $2\alpha = 2{,}3\cdot 10^{-3}$ rad.

Pour optimiser la mesure, le capteur de température doit être au moins éclairé par l'image de la zone étudiée. Déterminer si la taille de l'image intermédiaire permet une mesure optimale.

EXERCICES au choix du candidat (5 points)

Vous indiquerez sur votre copie les 2 exercices choisis: exercice A ou exercice B ou exercice C

EXERCICE A- PUISSANCE RAYONNÉE PAR LA LUNE

Mots-clés: lunette astronomique; évolution de la température d'un système

En 1939, les physiciens Pettit et Nicholson ont étudié la température de surface de la Lune à partir de la mesure de la puissance émise par la Lune lors de l'éclipse lunaire du 28 octobre 1939.

Cet exercice décrit une expérience menée au laboratoire pour déterminer la puissance lumineuse surfacique au niveau de la surface de la Terre lors d'une pleine Lune.

On s'intéresse d'abord à un dispositif de détection qui permet de capter la lumière issue de la Lune, puis on étudie un capteur thermique afin de déterminer la puissance lumineuse surfacique rayonnée lors d'une pleine Lune sur le sol terrestre.

1. Dispositif optique de détection

Pour déterminer la puissance émise par la Lune, Edison Pettit a placé un capteur de température au foyer du télescope du Mont Wilson.

On reproduit l'expérience de Pettit au laboratoire en utilisant une lunette afocale. La lumière diffusée par la Lune est ainsi concentrée sur un capteur de température fixé au foyer image de l'objectif de la lunette.

L'objectif de la lunette est modélisé par une lentille convergente de distance focale $f_1' = 101$ cm, l'oculaire est modélisé par une lentille convergente de distance focale $f_2'$.

Le capteur de température se présente sous la forme d'un petit carré noir de 0,8 mm de côté.

2. Étude du capteur de température exposé au rayonnement du Soleil

On étudie maintenant un capteur de température de type « thermocouple » de capacité thermique $C$. La température indiquée par ce capteur peut être reliée à la puissance rayonnée qu'il reçoit.

Pour déterminer la résistance thermique $R_{th}$ liée au transfert thermique entre le milieu extérieur et le capteur, on étudie le comportement au cours du temps du capteur exposé directement au rayonnement solaire (sans utiliser la lunette étudiée précédemment).

La température du milieu extérieur dans lequel se trouve le capteur est supposée constante et notée $T_0$ pendant toute la durée de l'expérience.

2. Étude du capteur de température exposé au rayonnement du Soleil

On étudie un capteur de température de type « thermocouple » de capacité thermique $C$. La température indiquée par ce capteur peut être reliée à la puissance rayonnée qu'il reçoit. Pour déterminer la résistance thermique $R_{th}$ liée au transfert thermique entre le milieu extérieur et le capteur, on étudie le comportement au cours du temps du capteur exposé directement au rayonnement solaire (sans utiliser la lunette).

La température du milieu extérieur est supposée constante et notée $T_0$. L'étude est conduite entre $t$ et $t+\Delta t$, avec $\Delta t$ petit devant la durée typique d'évolution de la température. À $t=0$ s, le capteur est dans l'obscurité, à l'équilibre: $T=T_0$. À $t>0$ s, on expose le capteur à la lumière du Soleil (puissance lumineuse reçue $P_{lum}$ supposée constante), ce qui fait augmenter sa température $T$. Il se produit alors un transfert thermique du capteur (température $T$) vers le milieu extérieur (température $T_0$).

2.1. La puissance thermique échangée avec le milieu extérieur par le système a pour expression:

$$P_{th} = \frac{T_0-T}{R_{th}}$$

2.2.

Commentez le signe de cette puissance.

2.3.

Exprimez la variation d'énergie interne du capteur $\Delta U$ en fonction de sa capacité thermique $C$ et de la variation $\Delta T$ de sa température au cours du temps $\Delta t$.

2.4.

Reliez la variation d'énergie interne $\Delta U$ du capteur à la puissance thermique $P_{th}$ et à la puissance lumineuse reçue $P_{lum}$ pendant une durée $\Delta t$.

2.5.

En déduire, pour des durées $\Delta t$ tendant vers 0, que la température $T(t)$ du capteur vérifie l'équation différentielle suivante:

$$\frac{dT}{dt} + \frac{T(t)}{R_{th}\times C} = \frac{T_0}{R_{th}\times C} + \frac{P_{lum}}{C}$$

Montrez les étapes de cette démonstration.

2.6.

Lorsque la température finale est atteinte par le capteur au bout d'une durée suffisamment longue, l'expression de la puissance lumineuse est $P_{lum} = \dfrac{(T_\infty-T_0)}{R_{th}}$ avec $T_\infty$ la température finale atteinte par le capteur. Retrouvez cette expression à partir de l'équation différentielle de la question 2.5.

On admet que l'étude expérimentale permet de déterminer la valeur de la résistance thermique: $R_{th} = 3\times10^{4}$ K·W⁻¹.

3. Mesure de la puissance surfacique au niveau du sol terrestre lors d'une pleine Lune

Pour déterminer la puissance surfacique $\varphi_{lune}$ au niveau du sol terrestre lors d'une pleine Lune, on place ce capteur au foyer image de l'objectif d'une lunette. La puissance $P_{lum}$ reçue par le capteur est amplifiée d'un facteur 500 par la lunette utilisée. On relève la température du capteur au cours du temps. La température se stabilise au bout de 250 s et on mesure alors $T_\infty - T_0 = 4{,}2\times10^{-2}$ K.

Sachant que la surface exposée du capteur utilisé lors de l'expérience est $S = 5{,}0\times10^{-7}$ m², évaluez la puissance surfacique $\varphi_{lune}$ au niveau du sol terrestre.

Comparez ensuite la valeur expérimentale à la puissance surfacique moyenne obtenue au niveau du sol terrestre lors d'une pleine Lune: $\varphi_{lune} = 5$ mW·m⁻².

Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

EXERCICE B – AU PLUS PRÈS DU SOLEIL ET DE SA COURONNE

Mots-clés: énergie d'un photon; mouvement dans un champ gravitationnel

La couronne solaire correspond à l'atmosphère du Soleil, elle est observable durant les éclipses de Soleil. C'est une couche de gaz dans laquelle les atomes sont fortement ionisés; certains atomes peuvent perdre jusqu'à 15 électrons. L'énergie nécessaire pour arracher ces électrons est considérable et résulte de la température de la couronne solaire qui est de l'ordre de quelques millions de degrés. Le gaz de la couronne solaire est rendu visible par les rayonnements émis par ses atomes ionisés.

D'après « La couronne solaire, E. Maurice, L'Astronomie, 1963 »

Source: wikipedia.

L'objectif de cet exercice est d'étudier le rayonnement émis par les atomes métalliques fortement ionisés de la couronne solaire, puis le mouvement de la sonde PSP (pour « Parker Solar Probe ») envoyée en 2018 pour recueillir des informations sur la couronne solaire.

1. Étude du rayonnement émis par les atomes ionisés de la couronne solaire

Les radiations caractéristiques de la couronne solaire sont dues à la formation des ions Fe$^{9+}$, Fe$^{13+}$, Ni$^{14+}$ et Ca$^{14+}$ et résultent de la transition d'un électron entre deux états d'énergie différents de chacun de ces ions.

Données:

1 eV = $1,6 \times 10^{-19}$ J;

constante de Planck: $h = 6,63 \times 10^{-34}$ J·s;

la valeur de la célérité $c$ de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat;

relation entre l'énergie associée à une transition énergétique et la longueur d'onde de la radiation rayonnée: $E = \frac{h

dot c}{

lambda}$

informations sur certaines radiations émises par des ions présents dans la couronne solaire:

Ions · Longueur d'onde (en m) · Énergie associée à la transition (en eV)

Fe$^{13+}$ · $\lambda$ (Fe$^{13+}$) · $E$ (Fe$^{13+}$)

Ca$^{14+}$ · $5{,}694 \times 10^{-7}$ · 2,18

Fe$^{9+}$ · $6{,}374 \times 10^{-7}$ · 1,94

Ni$^{14+}$ · $6{,}701 \times 10^{-7}$ · 1,85

Le spectre d'émission suivant a été obtenu lors de l'éclipse totale du Soleil du 29 mars 2006 en Turquie. Ce spectre montre la raie correspondant aux ions Fe$^{13+}$ de la couronne solaire.

1. Étude du rayonnement émis par les atomes ionisés de la couronne solaire

Les radiations caractéristiques de la couronne solaire sont dues à la formation des ions $\text{Fe}^{9+}$, $\text{Fe}^{13+}$, $\text{Ni}^{14+}$ et $\text{Ca}^{14+}$ et résultent de la transition d'un électron entre deux états d'énergie différents de chacun de ces ions.

Données:

$1\text{ eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\text{ J}$;

constante de Planck: $h = 6{,}63\times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$;

la valeur de la célérité $c$ de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat;

relation entre l'énergie associée à une transition énergétique et la longueur d'onde de la radiation rayonnée: $$E = \frac{h\cdot c}{\lambda}$$

informations sur certaines radiations émises par des ions présents dans la couronne solaire:

Ions

Longueur d'onde

(en m)

Énergie associée à la transition

(en eV)

$\text{Fe}^{13+}$

$\lambda(\text{Fe}^{13+})$

$E(\text{Fe}^{13+})$

$\text{Ca}^{14+}$

$5{,}694\times 10^{-7}$

2,18

$\text{Fe}^{9+}$

$6{,}374\times 10^{-7}$

1,94

$\text{Ni}^{14+}$

$6{,}701\times 10^{-7}$

1,85

Le spectre d'émission suivant a été obtenu lors de l'éclipse totale du Soleil du 29 mars 2006 en Turquie. Ce spectre montre la raie correspondant aux ions $\text{Fe}^{13+}$ de la couronne solaire.

1.1.

Donner la valeur de la longueur d'onde $\lambda(\text{Fe}^{13+})$ de la radiation émise par l'ion $\text{Fe}^{13+}$ en nm et en m.

nm

m

1.2.

Préciser, en justifiant, le domaine des ondes (UV, visible, X, IR, etc.) associé à cette valeur.

1.3.

Calculer la valeur de la transition d'énergie $E(\text{Fe}^{13+})$, en J puis en eV, correspondant à la raie d'émission de l'ion $\text{Fe}^{13+}$.

J

eV

EXERCICE B – AU PLUS PRÈS DU SOLEIL ET DE SA COURONNE

Mots-clés: énergie d'un photon; mouvement dans un champ gravitationnel

La couronne solaire correspond à l'atmosphère du Soleil, elle est observable durant les éclipses de Soleil. C'est une couche de gaz dans laquelle les atomes sont fortement ionisés; certains atomes peuvent perdre jusqu'à 15 électrons. L'énergie nécessaire pour arracher ces électrons est considérable et résulte de la température de la couronne solaire qui est de l'ordre de quelques millions de degrés. Le gaz de la couronne solaire est rendu visible par les rayonnements émis par ses atomes ionisés.

D'après « La couronne solaire, E. Maurice, L'Astronomie, 1963 »

Source: wikipedia.

L'objectif de cet exercice est d'étudier le rayonnement émis par les atomes métalliques fortement ionisés de la couronne solaire, puis le mouvement de la sonde PSP (pour « Parker Solar Probe ») envoyée en 2018 pour recueillir des informations sur la couronne solaire.

1. Étude du rayonnement émis par les atomes ionisés de la couronne solaire

Les radiations caractéristiques de la couronne solaire sont dues à la formation des ions Fe$^{9+}$, Fe$^{13+}$, Ni$^{14+}$ et Ca$^{14+}$ et résultent de la transition d'un électron entre deux états d'énergie différents de chacun de ces ions.

Données:

1 eV = $1,6 \times 10^{-19}$ J;

constante de Planck: $h = 6,63 \times 10^{-34}$ J·s;

la valeur de la célérité $c$ de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat;

relation entre l'énergie associée à une transition énergétique et la longueur d'onde de la radiation rayonnée: $E = \frac{h

dot c}{

lambda}$

informations sur certaines radiations émises par des ions présents dans la couronne solaire:

Ions · Longueur d'onde (en m) · Énergie associée à la transition (en eV)

Fe$^{13+}$ · $\lambda$ (Fe$^{13+}$) · $E$ (Fe$^{13+}$)

Ca$^{14+}$ · $5{,}694 \times 10^{-7}$ · 2,18

Fe$^{9+}$ · $6{,}374 \times 10^{-7}$ · 1,94

Ni$^{14+}$ · $6{,}701 \times 10^{-7}$ · 1,85

Le spectre d'émission suivant a été obtenu lors de l'éclipse totale du Soleil du 29 mars 2006 en Turquie. Ce spectre montre la raie correspondant aux ions Fe$^{13+}$ de la couronne solaire.

2. La sonde PSP et l'assistance gravitationnelle de Vénus

Masse du Soleil:

$M_S = 1{,}99\times 10^{30}$ kg

Rayon du Soleil:

$R_S = 6{,}96\times 10^{5}$ km

Constante universelle de la gravitation:

$G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$

La sonde PSP est un observatoire solaire spatial développé par l'agence spatiale américaine, la NASA, dont le lancement a eu lieu le 12 août 2018. Son objectif est d'étudier la couronne solaire en explorant une région inexplorée de l'espace située à proximité du Soleil.

Une fois la sonde placée dans l'espace, hors du champ gravitationnel de la Terre, elle suit son voyage en direction du Soleil. Au cours de ses différentes révolutions autour du Soleil, la sonde PSP passera sept fois près de Vénus, ce qui modifiera sa trajectoire et lui permettra après chaque rencontre de se rapprocher du Soleil.

La courbe ci-après montre l'évolution de la distance séparant la sonde PSP du Soleil en fonction de la durée. La partie claire de la courbe montre la portion de trajectoire déjà parcourue au 20 mai 2020. La partie sombre présente la trajectoire modélisée par la NASA restant à parcourir par la sonde. Les sept rencontres avec Vénus sont délimitées par des traits pointillés.

2.1.

Estimer, entre la 1 re et la 2 e rencontre avec Vénus, les valeurs de:

Après la 7 e rencontre, on donne les valeurs suivantes:

Période de révolution (en jours) · Distance maximale entre le centre du Soleil et la sonde PSP (en km) · Distance minimale entre le centre du Soleil et la sonde PSP (en km)

87 · $1{,}1\times 10^{8}$ · $7{,}0\times 10^{6}$

Tableau 1. Valeurs obtenues après la 7 e période

2.2.

Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la vitesse de la sonde PSP sur son orbite autour du Soleil a pour expression:

$$v = \sqrt{\dfrac{G \times M_S}{R}}$$

avec $R$ le rayon de l'orbite de la sonde PSP autour du Soleil. On note $T$ la période de révolution de la sonde PSP autour du Soleil.

Montrer que les grandeurs $T$ et $R$ vérifient la relation:

$$\dfrac{T^2}{R^3} = 2{,}97\times 10^{-19}\ \mathrm{s^2\cdot m^{-3}}$$

On admet que pour des trajectoires elliptiques, le rayon de l'orbite est remplacé par le demi grand-axe de l'ellipse, défini par $a = \dfrac{D_{max} + D_{min}}{2}$.

2.3.

Vérifier que les valeurs du tableau 1 sont en accord avec la relation précédente.

3. Estimation du record de vitesse de la sonde PSP

Les scientifiques de la NASA ont calculé avec une grande précision les positions successives de la sonde autour du Soleil au cours de son voyage. On s'intéresse au mouvement de la sonde PSP après sa septième rencontre avec la planète Vénus.

Des données modélisées et fournies par la NASA sont rassemblées ci-dessous. Elles indiquent les positions de la sonde autour du Soleil tous les 12 jours et 22 heures.

positions · date et heure (GMT) · distance au Soleil (km) · vitesse dans le référentiel héliocentrique (km·s⁻¹)

1 · 27/11/2024 12h17min · 98 130 368 · 20,5

2 · 10/12/2024 10h17min · 72 065 937 · 37,4

3 · 23/12/2024 8h17min · 13 461 628 · 131,2

4 · 5/1/2025 6h17min · 65 266 512 · 42,3

5 · 18/1/2025 4h17min · 94 856 493 · 22,7

6 · 31/1/2025 2h17min · 107 773 300 · 13,4

7 · 13/2/2025 0h17min · 107 908 666 · 13,3

Tableau 2. Données modélisées de la position et vitesse de la sonde

Référentiel héliocentrique:

centré sur le Soleil, axes pointant vers trois étoiles fixes.

Périhélie:

point de la trajectoire le plus proche du Soleil.

Aphélie:

point de la trajectoire le plus éloigné du Soleil.

3.1.

Énoncer la loi de Kepler permettant de justifier l'allure de la trajectoire de la sonde PSP autour du Soleil représentée dans la figure 4.

3.2.

Parmi les points donnés dans le tableau 2, donner la date la plus proche à laquelle la sonde atteint l'aphélie de sa trajectoire.

EXERCICE C - CESTA PUNTA

Mots-clés: Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme; énergie

La pelote basque est un sport de balle se pratiquant à main nue, avec une raquette en bois ou avec un chistera (gant en osier). La cesta punta est une des spécialités de la pelote basque. Le jeu consiste à renvoyer la balle servie par l'adversaire avec un chistera sur le mur appelé le fronton.

Le service s'effectue sur un terrain rectangulaire sur lequel des lignes de référence sont tracées. Le service s'effectue à 36 mètres du mur, il est réussi lorsque la balle, après avoir rebondi contre le mur, retombe entre les lignes 4 et 7.

Figure 1. Schéma, qui n'est pas à l'échelle, d'un terrain de pelote basque et allure de la trajectoire de la balle

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni du repère (Ox; Oy), une balle supposée ponctuelle est envoyée par un joueur depuis un point M₀ de coordonnées x₀ = − D et y₀ = h. Grâce à son chistera, le joueur lance la balle à une vitesse initiale de norme $v_0$ dont le vecteur $\vec{v_0}$ forme un angle α avec l'horizontale. Le mouvement de la balle s'effectue dans le champ de pesanteur; on néglige l'influence de l'air.

Le moment où la balle quitte le chistera est choisi comme origine des dates: $t_0 = 0$ s.

Le but de cet exercice est d'étudier, à l'aide du modèle de la chute libre, le mouvement de la balle afin de prévoir si le service est réussi. Le mouvement est décomposé en deux phases: avant puis après le rebond sur le mur.

Données

D = 36 m

masse de la balle m = 126 g

vitesse initiale v₀ = 36,2 m·s⁻¹

α = 12°

g = 9,81 m·s⁻²

1. Mouvement de la balle avant le rebond sur le mur

1.1.

Indiquer l'information de l'énoncé permettant de formuler l'hypothèse que le mouvement de la balle s'effectue dans le cadre du modèle de la chute libre.

1.2.

En appliquant la deuxième loi de Newton, montrer que l'équation horaire du mouvement de la balle selon l'axe Ox est:

$x(t) = v_0 \times \cos(\alpha)\, t - D$

1.3.

Montrer que la balle frappe le mur à la date $t_F = 1{,}0$ s.

2. Étude énergétique de la balle avant le rebond sur le mur

2.1.

Rappeler les expressions littérales de l'énergie cinétique $E_c$, de l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ et de l'énergie mécanique $E_m$ de la balle. L'énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle à l'ordonnée y = 0 m. On note v la norme du vecteur vitesse de la balle.

2.2.

Calculer la valeur de l'énergie cinétique $E_c$ à la date t = 0 s.

J

2.3.

En explicitant votre raisonnement, identifier pour chaque courbe de la figure 2 la forme d'énergie correspondante.

2.4.

À l'aide de la figure 2, évaluer la valeur de la hauteur H de la balle lorsqu'elle touche le mur au point F.

m

3. Mouvement de la balle après le rebond sur le mur

La balle rebondit sur le mur en F. On fait l'hypothèse que la balle repart à la vitesse $v_F = 35$ m·s⁻¹. L'instant du rebond est choisi comme nouvelle origine des dates dans cette partie.

La balle, après avoir rebondi contre le mur, doit retomber entre les lignes 4 et 7 pour que le service soit réussi. Si la ligne 4 n'est pas dépassée, le point est acquis à l'adversaire. Si la ligne 7 est dépassée, le joueur a droit à un second et dernier service.

Le mouvement de la balle est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni du repère (Ox; Oy) défini sur la figure 1. L'étude de ce mouvement permet d'établir les équations horaires de la balle:

$x(t) = -34{,}9\,t$ et $y(t) = -4{,}9\,t^2 - 2{,}4\,t + 4{,}9$ avec x et y exprimés en mètre et t en seconde.

3.1.

Évaluer la valeur de la vitesse $v_F$ à partir des équations horaires de la balle. Comparer avec la valeur donnée ci-dessus.

3.2.

Interpréter la valeur du coefficient du terme en $t^2$ dans l'expression de y(t). Préciser son unité.

À l'aide des équations horaires, on établit que l'équation cartésienne de la trajectoire de la balle est:

$y = -4{,}0 \times 10^{-3}\,x^2 + 6{,}9 \times 10^{-2}\,x + 4{,}9$ avec x et y exprimés en mètre.

3.3.

Le service effectué est-il réussi ?