Exercice 1 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2022

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos: vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.

On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que:

Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,4;

Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de 0,7;

La probabilité que le client loue un vélo électrique est de 0,58.

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0 \le \alpha \le 1$.

On considère les événements suivants:

$R$: « le client loue un vélo de route »;

$E$: « le client loue un vélo électrique »;

$\overline{R}$ et $\overline{E}$, événements contraires de $R$ et $E$.

On modélise cette situation aléatoire à l'aide de l'arbre reproduit ci-dessous:

Si $F$ désigne un événement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.

1.

Compléter les probabilités manquantes sur les branches secondaires de l'arbre pondéré:

2. a.

Montrer que $p(E) = 0,7 - 0,3\alpha$.

2. b.

En déduire la valeur de $\alpha$:

3.

On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.

4.

Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?

5. a.

Le prix de la location à la journée d'un vélo de route non électrique est de 25 euros, celui d'un vélo tout terrain non électrique de 35 euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de 15 euros.

On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d'un vélo à la journée. Donner la loi de probabilité de $X$ sous forme d'un tableau:

$k$

25

35

40

50

$p(X = k)$

5. b.

Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.

euros