Exercice 1 - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

On compte quatre groupes sanguins dans l'espèce humaine: A, B, AB et O.

Chaque groupe sanguin peut présenter un facteur rhésus. Lorsqu'il est présent, on dit que le rhésus est positif, sinon on dit qu'il est négatif.

Au sein de la population française, on sait que:

45 % des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux 85 % sont de rhésus positif;

10 % des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux 84 % sont de rhésus positif;

3 % des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux 82 % sont de rhésus positif.

On choisit au hasard une personne dans la population française.

On désigne par:

$A$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin A »;

$B$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin B »;

$AB$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin AB »;

$O$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin O »;

$R$ l'évènement « La personne choisie a un facteur rhésus positif ».

Pour un événement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$ et $P(E)$ la probabilité de $E$.

On rappelle que pour la variable aléatoire $M_N$, on a $E(M_N) = 7{,}14$ et $V(M_N) = \dfrac{6{,}63}{N}$.

6. d. Déterminer la plus petite valeur de $N$ pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que:

$$P(7 < M_N < 7{,}28) \ge 0{,}95$$