Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 1)

Exercice 1 (5 points)

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

Partie B

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de:

100 € pour une cabine;

70 € pour l'emplacement d'un véhicule.

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.

On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$:

$x_i$

0

70

100

170

$P(X = x_i)$

0,19

0,06

0,51

0,24

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.

On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $E(Y) = 104$ et pour variance $V(Y) = 1686$.

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

1.

Justifier que $E(X) = 96$ et que $V(X) = 3114$.

2.

À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de 40 % sur les suppléments et les extras.

On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

a.

Justifier que $Z = 0,6(X + Y)$.

b.

En déduire que $E(Z) = 120$ et que $V(Z) = 1728$, où $E(Z)$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $V(Z)$ sa variance.

3.

On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2.

On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $Z_1$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_2$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_n$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$-ième famille.

On considère la variable aléatoire $M_n = \frac{Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

On admet que les variables $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$.

a.

Montrer que l'espérance $E(M_n)$ de la variable $M_n$ est égale à 120, et que sa variance $V(M_n)$ est égale à $\frac{1728}{n}$.

b.

Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $P(114 < M_n < 126) \geqslant 0,85$.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.