Exercice 2 - Compléments sur la dérivation · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2024 (jour 2)

Exercice 2 (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty\,;\,1[$ par $f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x-1}$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-\infty\,;\,1[$.

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

3. a.

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty\;; 1[$, on a $f'(x) = \dfrac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}$.

3. b.

Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty\;; 1[$.

4.

On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty\;; 1[$, on a $f''(x) = \dfrac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}$.

4. a.

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty\;; 1[$.

4. b.

Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

4. c.

En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty\;; 1[$, on a: $$e^x \ge (-2x - 1)(x - 1)$$