Exercice 3 - Partie A (questions 1 à 3) · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2025 (jour 1)

1. Déterminer la limite de la fonction f en -1.

Réponse : $-\infty$

2. Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]-1 ; +inf[, on a : f'(x) = (100 - 2x - 2x^2) / (25(x+1))

Réponse : Par dérivation : $$f'(x) = \frac{4}{x + 1} - \frac{2x}{25} = \frac{100 - 2x(x + 1)}{25(x + 1)} = \frac{100 - 2x - 2x^2}{25(x + 1)}$$

3. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle ]-1 ; +inf[ puis en déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [2 ; 6,5].

Réponse : Sur $]-1 ; +\infty[$, le dénominateur $25(x + 1) > 0$. On étudie le signe du numérateur $-2x^2 - 2x + 100$. $$\Delta = (-2)^2 - 4(-2)(100) = 4 + 800 = 804$$ Racines : $$x_1 = \frac{2 - \sqrt{804}}{-4} = \frac{-1 + \sqrt{201}}{2} \approx 6,589$$ $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{804}}{-4} = \frac{-1 - \sqrt{201}}{2} \approx -7,589$$ Le coefficient de $x^2$ est négatif ($-2 < 0$), donc le numérateur est strictement positif entre les racines, en particulier sur $]-1 ; x_1[$. Comme $[2 ; 6,5] \subset ]-1 ; x_1[$, on a $f'(x) > 0$ sur $[2 ; 6,5]$, donc $f$ est strictement croissante sur $[2 ; 6,5]$.