Exercice 3 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 1)

Thème : Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Tiré du sujet Jour 1 (2021)

Énoncé

EXERCICE 3 (5 points)

Un sac contient les huit lettres suivantes: A B C D E F G H (2 voyelles et 6 consonnes).

Un jeu consiste à tirer simultanément au hasard deux lettres dans ce sac. On gagne si le tirage est constitué d'une voyelle et d'une consonne.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la probabilité que le joueur gagne est égale à 37\frac{3}{7}.

3. Dix joueurs font chacun une partie. Les lettres tirées sont remises dans le sac après chaque partie. On note XX la variable aléatoire égale au nombre de joueurs gagnants.

(a)

Justifier que XX suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

(b)

Calculer la probabilité, arrondie à 10−310^{-3}, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants.

(c)

Calculer P(X⩾5)P(X \geqslant 5) en arrondissant à 10−310^{-3}.

(d)

Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que P(X⩽n)⩾0,9P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}9.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

(a) Justifier que XX suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

Réponse : On répète 10 fois une épreuve de Bernoulli de manière identique et indépendante (car les lettres tirées sont remises dans le sac). Chaque épreuve a pour succès « le joueur gagne » avec une probabilité p=37p = \frac{3}{7}. Donc XX suit la loi binomiale de paramètres n=10n = 10 et p=37p = \frac{3}{7}, notée B(10 ; 37)\mathcal{B}\left(10\,;\,\frac{3}{7}\right).

(b) Calculer la probabilité, arrondie à 10−310^{-3}, qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants.

Réponse : 0,247

(c) Calculer P(X⩾5)P(X \geqslant 5) en arrondissant à 10−310^{-3}.

Réponse : 0,753 / 0,446

(c) Donner une interprétation du résultat obtenu.

Réponse : La probabilité qu'au moins 5 joueurs gagnent est d'environ 0,446 (ou 0,753 selon l'arrondi retenu).

(d) Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que P(X⩽n)⩾0,9P(X \leqslant n) \geqslant 0{,}9.

Réponse : 6

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