Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2026 (jour 2)

Thème : Succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale · Tiré du sujet Jour 2 (2026)

Énoncé

Exercice 2 [5 points]

On pourra traiter indépendamment les deux parties de l'exercice.

On arrondira, si nécessaire, les résultats à $10^{-3}$ près.

Dans cet exercice, on s'intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s'effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.

Partie A

Les statistiques de réussite des lancers-francs d'un joueur sont de $49{,}2\ \%$ lors d'une saison. Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d'un lancer-franc. Au cours d'un match, ce joueur tente $16$ lancers-francs. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

$n =$

, $p =$

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et l'interpréter dans le contexte de cet exercice.

$E(X) =$

Calculer $P(X = 5)$ .

$P(X = 5) =$

Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

$P(X \ge 6) =$

Partie B

On note $p$ la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où $p$ est un réel tel que $0 \le p \le 1$ . On se place dans le cas où le joueur effectue $3$ lancers-francs. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.

Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $Y$ .

Exprimer $P(Y = 2)$ en fonction de $p$ .

$P(Y = 2) =$

Donner la loi de probabilité de $Y$ . Présenter la réponse sous forme de tableau.

$k$

$0$

$1$

$2$

$3$

$P(Y = k)$

Montrer que $P(Y \ge 2) = -2p^3 + 3p^2$ .

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par $f(x) = -2x^3 + 3x^2$ .

a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 1]$ et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l'intervalle $[0; 1]$ .

$f'(x) =$

b. En déduire l'existence d'une unique valeur $\alpha$ dans l'intervalle $[0; 1]$ telle que $f(\alpha) = 0{,}9$ .

c. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette valeur $\alpha$ .

$< \alpha <$

d. Interpréter la valeur de $\alpha$ dans le contexte de l'exercice.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres (paramètre n).

Réponse : $16$

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres (paramètre p).

Réponse : $0{,}492$

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres (justification rédigée).

Réponse : Les 16 lancers sont identiques et indépendants, à deux issues possibles (succès ou échec). $X$ compte le nombre de succès parmi 16, donc $X \sim \mathcal{B}(16; 0{,}492)$ .

2. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire X.

Réponse : $7{,}872$

2. Interpréter l'espérance dans le contexte de cet exercice.

Réponse : Sur un grand nombre de matchs où le joueur effectue 16 lancers-francs, il réussirait en moyenne environ 7,872 lancers-francs par match (soit environ 8).

3. Calculer P(X = 5).

Réponse : $0{,}073$

4. Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

Réponse : $0{,}883$

Partie B - 1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y.

Réponse : $\{0; 1; 2; 3\}$ / 0, 1, 2, 3

Partie B - 2. Exprimer P(Y = 2) en fonction de p.

Réponse : $3p^2(1 - p)$

Partie B - 3. Loi de probabilité de Y : P(Y = 0).

Réponse : $(1 - p)^3$

Partie B - 3. Loi de probabilité de Y : P(Y = 1).

Réponse : $3p(1 - p)^2$

Partie B - 3. Loi de probabilité de Y : P(Y = 2).

Réponse : $3p^2(1 - p)$

Partie B - 3. Loi de probabilité de Y : P(Y = 3).

Réponse : $p^3$

Partie B - 4. Montrer que P(Y >= 2) = -2p^3 + 3p^2.

Réponse : $P(Y \ge 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) = 3p^2(1 - p) + p^3 = 3p^2 - 3p^3 + p^3 = -2p^3 + 3p^2$

Partie B - 5.a. Dérivée f'(x).

Réponse : $-6x^2 + 6x$ / $6x(1 - x)$

Partie B - 5.a. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

Réponse : Pour tout $x \in [0; 1]$ , $x \ge 0$ et $1 - x \ge 0$ , donc $f'(x) \ge 0$ . La fonction $f$ est croissante sur $[0; 1]$ , avec $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$ .

Partie B - 5.b. En déduire l'existence d'une unique valeur alpha dans l'intervalle [0; 1] telle que f(alpha) = 0,9.

Réponse : $f$ est continue et strictement croissante sur $[0; 1]$ , $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$ . Comme $0 < 0{,}9 < 1$ , d'après le corollaire du TVI, il existe un unique $\alpha \in [0; 1]$ tel que $f(\alpha) = 0{,}9$ .

Partie B - 5.c. Borne inférieure de l'encadrement de alpha d'amplitude 10^-2.

Réponse : $0{,}80$

Partie B - 5.c. Borne supérieure de l'encadrement de alpha d'amplitude 10^-2.

Réponse : $0{,}81$

Partie B - 5.d. Interpréter la valeur de alpha dans le contexte de l'exercice.

Réponse : Pour que le joueur ait une probabilité de 90 % de réussir au moins 2 lancers-francs sur 3, sa probabilité de réussir un lancer-franc doit être égale à alpha, soit comprise entre 80 % et 81 %.

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