Exercice 3 - Partie 2 · Bac Mathématiques Asie 2022 (jour 2)

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.

On appelle cette pratique le surbooking.

Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a $5\,\%$ de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.

Considérons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets ont été vendus.

On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.

1.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2.

En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?

3.

Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.

4.

Calculer $P(X \le 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5.

La compagnie aérienne vend chaque billet à 250 euros.

Si plus de 200 passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de 600 euros à chaque passager lésé.

On appelle: $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu'ayant acheté un billet;

$C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.

On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant:

$y_i$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6

$P(Y = y_i)$ · 0,947 75 · 0,030 63 · 0,014 41 · 0,005 39 · 0,001 51 · 0,000 28 · $P(Y = 6)$

a)

Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.

b)

Justifier que: $C = 51\,500 - 850Y$.

c)

Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau.

Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près.

d)

Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.