Exercice 2 - Probabilités · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 2)

Exercice 2 (5,5 points)

Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s’intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.

Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70% des cas.

Mais si elle vient de subir une défaite, d’après elle, la probabilité qu’elle gagne la suivante est de 0,2.

De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.

On s’appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les événements suivants:

$G_n$: « Léa gagne la $n$-ième partie de la journée »;

$D_n$: « Léa perd la $n$-ième partie de la journée ».

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l’événement $G_n$. On a donc $g_1 = 0{,}5$.

1.

Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $P_{G_1}(D_2)$ ?

2.

Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée:

3.

Calculer $g_2$.

4.

Soit $n$ un entier naturel non nul.

a.

Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième parties de la journée.

b.

Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, $g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2$.